Что такое полуось в геометрии: Что-то пошло не так (404)

&nbsp

&nbsp

Опишем сначала элементарные свойства эллипса, следующие непосредственно из канонического уравнения (19).

1. Из этого уравнения следует, что если точка $(x,y)$ принадлежит эллипсу, то выполняются неравенства $|x| \leq a $, $|y| \leq b$. Таким образом, все точки эллипса лежат в этом прямоугольнике (конечном!).

2. Так как переменные $x,y$ входят в уравнение эллипса только в квадратах, то из того, что $(x,y)$ лежат на эллипсе следует, что точки $(\pm x, \, \pm y)$ также лежат на эллипсе при любом выборе знаков. Это означает, что эллипс симметричен при отражении относительной осей координат и имеет центр симметрии, точку $O$.

&nbsp

3.4 Прямая на плоскости 3.6 Гипербола

&nbsp

В.А. Ильин, Э.Г. Позняк — Аналитическая геометрия (7-е издание) — DJVU, страница 32

DJVU-файл из архива «В.А. Ильин, Э.Г. Позняк — Аналитическая геометрия (7-е издание)», который расположен в категории «». Всё это находится в предмете «линейная алгебра и аналитическая геометрия» из раздела «», которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Обращаясь к уравнению (6.9), мы видим, что при указанных условиях это уравнение эквивалентно соотношению х у =Ь ~ —,-1. (6.17) Иными словами, рассматриваемая часть гиперболы представляет собой график функции (6.! 7) ‘), Легко убедиться, что эта функция мо- жет быть представлена в следующей форме: Ь Ь у= — х— х + тГхз — аз (6.

рассмотрим разность )’ — у (рис. 6.7 а). Используя соотношения (6.18) и (6.19), получим Ь (6.20) — у— х ж чГх — а ‘) Абсциссы х точек 02 нс равны нулю ) В силу свойства й’ гиперболы (6.9) абсциссы ее точек уловлетворяют условию )х ! > а Для точек первои четверти зто условие к2олсет быть записана в виде х > и. ‘|) По поводу понятия график функции сы вып 1, гл 1, Э 2, и 4 ь ь делаются уравнениями у = — х и у = — — х, то координаты х и у точек а а 62 в силу их расположения удовлетворяют неравенству Ь,га < ~ у ~ у’ ) х ~ ).

Из этого неравенства вытекает неравенство ) х ~ )2а < )у!)г Ь, из которого х у в свою очередь следуют неравенства — „— —, < О < 1, а так как для точек а Ь 1гл б 154 ЛИ1ШИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Из соотношения (6. 20) следует, что при х — э 0 разность У вЂ” у стремится к нулю. Абсолютная величина ) У вЂ” у( равна длине отрезка МАГ(рис. 6 7 а).

Так как расстояние МР от точки М гиперболы до рассматриваемой диагонали не превышает длины отрезка МАГ, то при удалении точки М гипербольг в бесконечность (т.е. при х — + О) расстояние МР стремится к нулю. Следовательно, рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается к соответствующей диагонали прямоугольника О. В силу симметрии аналогичным свойством обладают и другие части гиперболы, расположенные во второй, третьей и четвертой четвертях. Рис. 6 7 Диагонали прямоугольника В обычно называются асимптотами гиперболы. Отметим, что асимптоты гиперболы определяются уравнениями Ь Ь у= — х и у= — — х.

(6.21) а а 4′. Наряду с гиперболой (6.9) рассматривают так называемую сопряженную по отноидению к ней гиперболу. Сопряженная гипербола определяется каноническим уравнением (6.22) На рис.6.7 б изображены гипербола (6.9) и сопряженная ей гипербола (6,22).

Очевидно, что сопряженная гипербола имеет те же асимптоты, что и данная. Иными словами, асимптоты сопряженной гиперболы определяются уравнениями (6.21). Заметим, что гипербола (6.9) в свою очередь является сопряженной по отношению к гиперболе (6.22).

‘) Чтобы убедиться, что уравнение 16 22) определяет гиперболу, достаточно положить х = Р, у = х и уииожить обе части етого уравнении па — 1. ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА, ГИНЕРЬОЛЫ И ПАРАБОЛЫ у 3! 3. Исследование формы параболы. Обратимся к каноническому уравнению параболы (6.15): у = 2рх. (6. 15) 1’. Парабола имеет ось симметрии (ось параболы).

Точка пересечения параболы с осью называется вершинои параболы. Действительно, в уравнении (6.15) величина у фигурирует вчетной степени. Следовательно, если х , М(х, координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (6.15) (т.е. точка М располагается на параболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (х, — у) симметричной ей точки относительно оси Ох (рис.

6.8). Таким образом, если парабола задана своим каноническим уравнением (6. 15), то осью этой параболь! является Р’т ось Ох. Очевидно, вершиной параболы является начало координат. 2′. Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху. В самом деле, так как р > О, то уравнению (6.15) удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Такие точки располагаются в правой полуплоскости. 3′.

Из рассуждений п. 3 ~ 1 этой главы вытекает, что директриса параболы, определяемой каноническим уравнением (6.15), имеет уравнение у) у = — р!!2 й 3. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы Определение параболы, данное в п. 3 ~ 1 этой главы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой. (6.23) 4′. Любые две параболы подобны друг другу. Пусть уа = 2рх и у = 2р*х — канонические уравнения этих парабол в декартовой системе Оху; у = йх — уравнение произвольной прямой, проходящей через О, а (х, у) и (х», у*) — координаты точек пересечения этой прямой с параболами.

Используя канонические уравнения, получим х = 2р/йз, у = ч. 2р/й, хл = 2р»‘/й, у’ =ч.2р'»г!й. Из последних формул вытекает, что — = р/р», — = р!!р*. Но эти равенства означают подобие рассматри- Х ваемых парабол относительно точки О. 5′. Отметим, что кривая у’ = 2рх при р < О также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на -х и -р на р.

ЛИ1ШИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1гл б 156 Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к рассптоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная, равная единице. Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса ‘) эллипса или гиперболья можно указать такую прямую, называемую д ир е к т р ис о и, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная. Данный параграф посвящен выяснению этого свойства эллипса и гиперболы.

1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с — половина расстояния между фокусами эллипса )(гиперболы), а — большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы). Определение. 3 к сцен т р и си тетом эллипса (гипербольг) называется величина е, равная отношению с)а: е = с,Га.

(6.24) 3 а м е ч а н и е 1. Учитывая связь величины с с длинами а и Ь большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (6 5) и (6.! О)), легко получить следующие выражения для эксцентриситета е: Г Ь для эллипса е = ~1- —,, а (6.25) Г ь’ для гиперболы е = ~1е —, а (6.25′) ) Напомним, что отличный от окружности эллипс и гипсроола имеют по два фокуса аэ ) Голи эллипс представляет собои окружность, то с = О. й Напомним, что величина Ь как для эллипса, так и для гиперболы не равна нулю Из формул (6.25) и (6.25′) вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гипербольг больше единицы а), Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для окружности Ь = а).

3 а м е ч а н и е 2. Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из формулы (6.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (6.25′) для зксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь,Га малой и большой полуосей (гиперболы с 157 ДИРЕКТРИСЫ ЗЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ У 31 одинаковым зксцентриситетом имеют одинаковое отношение Ь,га мнимой и действительной полуосей).

Такие эллипсы (гиперболы) подобны ‘). 3 а м е ч а н и е 3. Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости » : чем больше эксцентриситет е (см. формулу 16.25)), тем меньше отношение Ьуа малой полуоси эллипса Ь к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцентриситетами, но с одинаковой большой полуосью а.

3 а м е ч а н и е 4. Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение Ьуа равно тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы. 2. Директрисы эллипса и гиперболы. 1′. Директрисьг эллипса. Мы выяснили, что любой, отличный от окружности эллипс имеет большую и малую оси и центр — точку пересечения этих осей (см. п. 1 ~ 2 этой главы). Обозначим через с половину расстояния между фокусами с»г и сг эллипса, через а его большую полуось и через О его центр (рис.

6.!О). с=о Рис. Б.10 Рис 69 Пусть е — эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то е м О) и л — плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через ~, (г = 1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус г» г (г = 1, 2). Определение. Д и р е к т р и с о й О, 11’= 1, 2) эллипса, отвечающей фокусу сг 1)= 1, 2), назьгвается прямая, расположенная в полуплоскости и, (г’ = 1, 2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии а/е от его центра.

3 а м е ч а н и е 1. Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка г» гсд, а оси Ох и Оу направим так, ‘) Чтобы убедиться в атом, лостато*шо расположить тти аллнпсы 1соответственно гиперболы) так. чтобы их пентры н одноименные главные оси совпадали Тогда иа канонических уравнении легко следует подобие кривых с равными отношениями Ь)а. линии ВТОРОГО ИОРядкА ~ГЛ 6 уравнение директрисы О,: х = -а?е, уравнение директрисы 1лз. .х = атге. (6.26) 3 а м е ч а н и е 2. Директрисы эллипса расположены вне эллипса.

Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике )х( < а,)у) < Ь (см. п. 1 ~ 2 этой главы и рис. 6.4), стороны которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса. Из определения директрис вытекает, что они параллельны двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого прямоугольника. Поскольку упомянутые стороны отстоят от центра эллипса на расстоянии а, а директрисы — на расстоянии а?е > а (О < е < 1), то директрисы расположены вне прямоугольника, а следовательно, и вне эллипса. 3 а м е ч а н и е 3.

Мы только что выяснили, что директрисы расположены вне эллипса. Отсюда вытекает, что точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой из его директрис. 3 а м е ч а н и е 4. Обозначим через р расстояние от фокуса эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно а)е, а расстояние от центра зла липса до фокуса равно с, то р равно — — с ). Так как с = ае, то для р е получаем следующее выражение: р=а — — е =а (6.2?) Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного от окружности эллипса и его директрис. Теорема 6.1. Отношение расстояния г, от точки М эллипса до фокуса с, к расстоянию й, от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисьг 1), равно эксцентриситету е этого эллипса.

Геометрия поворота / Этюды // Математические этюды

Математические этюды

К списку

Парал­лельны ли друг другу перед­ние колёса автомо­биля при пово­роте?

Ока­зы­ва­ется, что именно геомет­рия и меха­ника опре­де­ляют то, как надо пово­ра­чи­вать колёса автомо­биля.

Если про­долже­ние оси колёс направ­лено в центр пово­рота, то колесо остав­ляет чёт­кий след. Чёт­кая кар­тинка будет, и если несколько осей направ­лены в центр пово­рота. Однако, если про­долже­ние оси колеса направ­лено не в центр пово­рота, то колесо катится с про­скаль­зы­ва­нием. След будет стёр­тым, а самое глав­ное, управ­ля­емость транспорта с таким коле­сом будет тем хуже, чем выше ско­рость. Итак, для хорошей управ­ля­емо­сти про­долже­ния осей колес должны быть направ­лены в центр пово­рота. Что же это зна­чит для четырёх­ко­лёс­ного автомо­биля?

Научимся для начала про­хо­дить про­стой пово­рот — дугу окруж­но­сти.

Так как зад­ние колёса в большин­стве машин не пово­ра­чи­ваются, то центр окруж­но­сти пово­рота должен лежать на про­долже­нии оси этих колёс. Перед­ние колёса необ­хо­димо повер­нуть так, чтобы про­долже­ние оси каж­дого колеса смот­рело в этот же центр. А зна­чит, для хорошей управ­ля­емо­сти перед­ние колёса необ­хо­димо пово­ра­чи­вать на раз­ные углы, и они будут непа­рал­лельны!

Вы скажете, что пово­роты не все­гда являются дугой какой-либо окруж­но­сти, и уж тем более машина не оста­нав­ли­ва­ется для того, чтобы повер­нуть колёса. Это, конечно, правда, но ока­зы­ва­ется, что при любом пово­роте в каж­дый момент времени можно счи­тать, что машина едет по дуге неко­то­рой окруж­но­сти (радиус и центр кото­рой зави­сят от момента времени).

Рас­смот­рим про­из­воль­ную дорогу. Чтобы по ней можно было ездить, у неё не должно быть ост­рых углов, т.е. сред­няя линия будет, как гово­рят в матема­тике, глад­кой кри­вой.

Зафик­си­руем синюю точку на сред­ней линии и подумаем, каким более про­стым геомет­ри­че­ским объек­том можно заме­нить кри­вую в небольшой окрест­но­сти нашей точки.

Возьмём про­из­воль­ную крас­ную точку неда­леко от синей. Две точки на плос­ко­сти опре­де­ляют един­ствен­ную прямую, кото­рую и про­ве­дём. Будем двигать крас­ную точку по кри­вой к синей. В момент, когда они совпа­дут, прямая, ими опре­де­ля­емая, будет каса­тель­ной прямой. Она даёт линей­ное при­ближе­ние кри­вой дороги в небольшой окрест­но­сти зафик­си­ро­ван­ной точки. Однако при уве­ли­че­нии видно, что дорога и каса­тель­ная прямая рядом идут на очень маленьком участке.

Справа и слева от синей точки возьмём по крас­ной. Три точки, не лежащие на одной прямой, опре­де­ляют един­ствен­ную окруж­ность, кото­рую и про­ве­дём. Будем двигать крас­ные точки к синей. В момент, когда они совпа­дут, полу­чим окруж­ность, кото­рая назы­ва­ется сопри­ка­сающейся. Это при­ближе­ние уже вто­рого порядка, и на уве­ли­че­нии видно, насколько оно лучше. Заме­тим, что на моно­тон­ном участке (воз­рас­та­ния или убы­ва­ния кри­вой) сопри­ка­сающа­яся окруж­ность все­гда пере­се­кает кри­вую, в отли­чие от каса­тель­ной, рас­по­ложен­ной на таких участ­ках по одну сто­рону от кри­вой.

Так как сопри­ка­сающа­яся окруж­ность для нашей задачи хорошо при­ближает дорогу и может быть постро­ена в любой её точке, то движе­ние по изги­бам дороги можно рас­смат­ри­вать в каж­дый момент времени как движе­ние по дуге неко­то­рой окруж­но­сти. Мгно­вен­ные радиус и центр этой окруж­но­сти зави­сят, конечно, от той точки, в кото­рой нахо­дится машина.

Таким обра­зом, при движе­нии в про­из­воль­ном пово­роте можно счи­тать, что в каж­дый момент времени машина движется по небольшой дуге неко­то­рой окруж­но­сти. И наш пер­вый слу­чай — пово­рот машины по дуге окруж­но­сти — основ­ной, кото­рый и нужно изу­чать.

Но как достичь того, чтобы при любом пово­роте колёс про­долже­ние осей смот­рело в мгно­вен­ный центр пово­рота?

Ока­зы­ва­ется, и здесь на помощь при­хо­дит геомет­рия, а именно извест­ная со школы рав­но­бо­кая трапе­ция — четырёх­уголь­ник, у кото­рого две сто­роны, назы­ва­емые осно­ва­ни­ями, парал­лельны между собой, а боко­вые сто­роны равны друг другу. Если пра­вильно подо­брать размеры сто­рон трапе­ции, то достига­ется небо­хо­димое для хорошего управ­ле­ния усло­вие — про­долже­ние осей перед­них колёс пере­се­ка­ется в точке, лежащей на про­долже­нии оси зад­них колёс. Эта точка и есть мгно­вен­ный центр пово­рота машины.

При­думал такое управ­ле­ние перед­ними колё­сами фран­цуз, карет­ных дел мастер Шарль Жанто (Charles Jeantand). Однако для карет, пере­двигавшихся с малыми ско­ро­стями, это было не так суще­ственно, как для машин, и изоб­ре­те­ние Жанто было забыто. Лишь почти через три чет­верти века два отца автомо­би­ле­стро­е­ния, два немца, два инже­нера — Готт­либ Дайм­лер (Gottlieb Wilhelm Daimler) и Карл Бенц (Karl Friedrich Michael Benz) — изоб­ре­тая свои автомо­били, воз­вращаются к трапе­ции Жанто. В 1889 году Дайм­лер полу­чает патент на «спо­соб неза­ви­симого управ­ле­ния перед­ними колё­сами с раз­но­ве­ли­кими ради­у­сами пово­рота». А в 1893 году Бенц полу­чает патент на «устройство управ­ле­ния экипажей с тангенци­аль­ными к колё­сам окруж­но­стями управ­ле­ния». Решив задачу управ­ле­ния перед­ними пово­рот­ными колё­сами и другие важ­ные тех­ни­че­ские вопросы, Карл Бенц строит свой пер­вый знаме­ни­тый четырёх­ко­лёс­ный автомо­биль «Вик­то­рия».

С точки зре­ния стро­гой матема­тики, трапе­ция не поз­во­ляет достичь необ­хо­димого усло­вия — чтобы про­долже­ние осей перед­них колес при любом пово­роте пере­се­ка­лось в точке, лежащей на про­долже­нии зад­ней оси. При исполь­зо­ва­нии трапе­ции эта точка будет все­гда лежать чуть-чуть в сто­роне от линии зад­ней оси. Зачем же мы столько обсуж­дали трапе­цию, скажете вы? Рас­стра­и­ваться рано — про­сто не надо без­думно пере­но­сить матема­ти­че­скую строгость в тех­ни­че­ские вопросы. Чтобы точка пере­се­че­ния линий перед­них осей все­гда лежала на линии зад­ней оси, необ­хо­димо, чтобы длина меньшего осно­ва­ния трапе­ции немного меня­лась. При общей длине этого осно­ва­ния более метра необ­хо­димые изме­не­ния длины состав­ляют всего около одного сан­тиметра, а это меньше чем люфты в соеди­не­ниях и раз­решён­ные допуски при изго­тов­ле­нии.

Со времён изоб­ре­те­ния пер­вых автомо­би­лей ско­ро­сти пере­движе­ния сильно воз­росли. Уве­ли­чи­лись и тре­бо­ва­ния к управ­ле­нию перед­ними колё­сами. Кроме того, трапе­ция — это плос­кая геомет­ри­че­ская фигура. И такой спо­соб управ­ле­ния перед­ними колё­сами может исполь­зо­ваться только при зави­симой перед­ней под­веске — когда колёса жёстко свя­заны друг с другом и прямая, соеди­няющая их цен­тры, все­гда парал­лельна плос­ко­сти трапе­ции. Сей­час такое можно встре­тить на гру­зо­вых автомо­би­лях. На современ­ных лег­ко­вых автомо­би­лях под­веска колёс неза­ви­сима, т.е. они могут ходить по высоте друг отно­си­тельно друга. Для управ­ле­ния в пово­роте такими колё­сами при­ме­няются более слож­ные, уже неплос­кие шар­нир­ные меха­низмы, чаще всего с цен­траль­ным зве­ном в виде руле­вой рейки. Но их рас­чёт — это тоже задача матема­ти­ков и меха­ни­ков. А исто­ри­че­ски они так по-преж­нему и назы­ваются — руле­вой трапе­цией.

При пово­роте автомо­биля воз­ни­кает ещё один вопрос, свя­зан­ный с геомет­рией. Длина окруж­но­сти ради­уса R равна, как вы пом­ните, 2πR. Соот­вет­ственно, длина дуги, опи­рающейся на угол α окруж­но­сти ради­уса R, равна αR. При пово­роте автомо­биля по дуге окруж­но­сти внеш­нее перед­нее колесо едет по дуге окруж­но­сти большего ради­уса, чем внут­рен­нее перед­нее. Точно так же и зад­нее внеш­нее колесо опи­сы­вает дугу большего ради­уса, чем внут­рен­нее зад­нее. А раз ради­усы раз­ли­чаются, то, зна­чит, пути, про­хо­димые внут­рен­ним и внеш­ним колё­сами одной оси, должны быть тоже раз­личны. В про­тив­ном слу­чае колесо будет про­скаль­зы­вать, и управ­ля­емость автомо­биля сни­зится.

В слу­чае, когда ось неве­дущая, т.е. её колёса не тол­кают автомо­биль впе­рёд, всё про­сто: каж­дое колесо вер­тится со своей ско­ро­стью, необ­хо­димой для про­хож­де­ния нуж­ного пути без про­скаль­зы­ва­ния.

А как же сде­лать так, чтобы колёса ведущей оси, в нашем слу­чае зад­ней, с одной сто­роны, посто­янно тол­кали автомо­биль впе­рёд, а с дру­гой сто­роны, могли вращаться с раз­ными ско­ро­стями?

Помогает в этом диффе­ренциал — пред­ста­ви­тель пла­не­тар­ных меха­низмов. Пла­не­тар­ным назы­ва­ется меха­низм, у кото­рого есть сател­литы — шестерни, кру­тящи­еся вокруг подвиж­ных осей.

Вал от мотора, пройдя через коробку пере­дач, отдаёт враще­ние на «бочку». Бочка же через сател­литы пере­даёт враще­ние на левую и пра­вую полу­оси ведущей оси. Как бы ни враща­лись колёса, ско­рость бочки все­гда в два раза мед­лен­нее враще­ния вала, а сумма ско­ро­стей полу­осей равна удво­ен­ной ско­ро­сти вала.

Если машина едет по прямой и под обо­ими ведущими колё­сами оди­на­ко­вое покрытие — с оди­на­ко­вым коэффици­ен­том тре­ния, то колёса заби­рают от бочки оди­на­ко­вое коли­че­ство враще­ния, и полу­оси вращаются (колёса и их полу­оси) с оди­на­ко­вой ско­ро­стью.

Но если коэффици­енты тре­ния раз­ли­чаются, напри­мер, одна сто­рона машины выезжает с асфальта на грун­то­вую обо­чину или попа­дает на лёд, то… Как же будут себя вести колёса при про­хож­де­нии этого участка? У колёс неве­дущей оси всё про­сто: они неза­ви­симы друг от друга, им не надо тол­кать машину, и когда одно из них выка­ты­ва­ется на лёд, то пере­стаёт кру­титься, так как тре­ние с доро­гой очень маленькое.

Вот и под левое колесо ведущей оси попа­дает лёд. Справа тре­ние с асфальтом большое, а слева — со льдом — почти отсут­ствует. Соот­вет­ственно, левому колесу вращаться гораздо проще, и оно начи­нает заби­рать на себя всё враще­ние, отда­ва­емое боч­кой на обе полу­оси. При этом сумма ско­ро­стей полу­осей, как было отме­чено выше, все­гда посто­янна, но одна полу­ось не кру­тится, а вто­рая — враща­ется очень быстро. Начать движе­ние из такого положе­ния, когда одно колесо ведущей оси поте­ряло связь с доро­гой (напри­мер, нахо­дится на льду), а другое нет — невозможно.

Каза­лось бы, одни неудоб­ства от этого диффе­ренци­ала, зачем он тогда нужен? Как раз для реше­ния задачи одно­времен­ного тол­ка­ния ведущей осью машины впе­рёд и про­хож­де­ния в пово­ро­тах ведущими коле­сами путей раз­ной длины. Каж­дое колесо берёт от диффе­ренци­ала коли­че­ство движе­ния про­порци­о­нально длине его пути, а в сумме всю энергию вала они затра­чи­вают на движе­ние машины впе­рёд.

Инже­неры посто­янно пытаются улучшить диффе­ренциал, сохра­нив его основ­ное свойство, пытаются уменьшить непри­ят­ные эффекты — каким-либо спо­со­бом не давать кру­титься полу­осям со слиш­ком большой раз­ницей ско­ро­стей. Но по сути, всё и сегодня оста­ётся таким же, ибо законы геомет­рии никто не отме­нял.

Смотри также

Пово­рот перед­них колёс автомо­биля // Матема­ти­че­ская состав­ляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коно­ва­лов, Н. М. Паню­нин. — Вто­рое изда­ние, расши­рен­ное и допол­нен­ное. — М. : Матема­ти­че­ские этюды, 2019. — С. 54—55, 306.

Млод­зеев­ский Б. К. К тео­рии управ­ле­ния в автомо­би­лях // Вест­ник инже­не­ров. 1917. 15 января. Т. 3, № 2. С. 37—41.

Другие этюды раздела «Математика и техника»

Математические этюды

Проверка геометрии кузова: что такое, как проверить, признаки нарушения геометрии

Проверка геометрии кузова поможет узнать, был ли автомобиль в серьезных авариях. Не помешает она и машине, прошедшей более 100 тысяч километров без ДТП. Рассказываем, как проверить состояние кузова самостоятельно и в сервисном центре.

Что называют геометрией кузова?

Под геометрией автомобиля понимают расположение силовых элементов кузова друг относительно друга. В норме все расстояния соответствуют параметрам, рассчитанным производителем при разработке модели. При появлении отклонений начинаются проблемы.

Чаще всего геометрию кузова проверяют при покупке подержанного автомобиля. Это лучший способ узнать, была ли машина в ДТП. Если осмотр и тесты показывают легкие деформации, вы можете требовать скидку у продавца. При серьезных повреждениях от покупки лучше отказаться.

Мастера-кузовщики также рекомендуют проверять геометрию кузова каждые 100 тысяч километров, даже если машина не была в авариях. Езда по неровным дорогам, сильный износ подвески, наезды на препятствия и даже долгие стоянки с перекосом (например, одной стороной на бордюре) могут деформировать каркас авто. Чем раньше вы займетесь ремонтом, тем меньше проблем будет в будущем.

Какие отклонения обычно выявляет проверка?

1. Длина лонжеронов не совпадает — был серьезный удар с одной стороны.
2. Смят моторный щит или поперечина позади салона — автомобиль был в тяжелом ДТП, затронувшем почти весь кузов.
3. Погнуты стойки крыши — вероятнее всего, машина переворачивалась.
4. Дверцы провисают или неплотно закрываются — был боковой удар или у автомобиля очень большой пробег.
5. Плохо закрывается капот или багажник — был сильный удар спереди либо сзади.
6. Расстояния между колесами отличаются — машину не щадили, кузов деформирован из-за быстрой езды по плохим дорогам.
7. Опоры двигателя неровные, мотор перекошен — автомобиль подпрыгивал на неровностях и очень жестко приземлялся.

Как проверить геометрию кузова самостоятельно?

Визуальный осмотр

Начните со стекол. Верный признак нарушения геометрии кузова — горизонтальные трещины. Деформированный кузов сильно сдавливает стекло, поэтому со временем оно начинает лопаться.

Откройте водительскую дверь, покачайте вверх-вниз, закройте. Если она сильно шатается и стучит, петли установлены неровно или ослаблены. Если дверца закрывается с большим усилием, проем наверняка перекошен.

Посмотрите на зазоры между кузовными панелями, приложите к ним палец для оценки размеров. Неровные щели означают, что машина побывала в серьезной аварии. Еще один повод насторожиться — неоднородная окраска. Разница в цвете говорит о том, что автомобиль красили. В большинстве случаев кузовной ремонт делают после ДТП.

Проверка рулеткой

Структура кузова автомобиля может быть сложной, поэтому геометрию лучше всего проверять по колесам. Вначале измерьте колесную базу справа и слева — расстояние между передней и задней ступицей. Цифры должны быть одинаковы. Затем уточните колею спереди и сзади — дистанцию от середины протектора правого колеса до середины протектора левого. Здесь допускаются различия, поэтому результаты лучше сверять с техническими характеристиками автомобиля. Их можно найти в инструкции по эксплуатации или в интернете.

Можно проверить геометрию кузова своими руками, замерив ширину дверного проема автомобиля у нижней и верхней петли. Посмотрите на длину проема багажника от крышки до кромки в 2–3 точках, а также длину подкапотного пространства. Разница в пару миллиметров допустима — мы уже говорили о последствиях езды по некачественным дорогам. А вот более серьезные отклонения будут поводом насторожиться.

h3 Профессиональная проверка геометрии кузова в автосервисе

Проверка инструментами

Специалисты измеряют расстояние между контрольными точками электронным штангенциркулем с погрешностью не более 0,1 мм. Они оценивают взаимное положение кузовных панелей и силовых элементов с разных сторон, сравнивая результаты между собой.

Для измерения колесной базы, колеи и длины лонжеронов используется масштабная рейка. Мастер устанавливает ее рядом с автомобилем и выбирает нужные точки замера — на экране появляется точное расстояние.

Автоматизированная проверка

Крупные СТО и официальные сервисные центры используют компьютерные стенды. Автомобиль загоняют на подъемник, а затем приклеивают метки к контрольным точкам. Камеры измеряют основные показатели геометрии кузова за считанные секунды.

В официальных сервисных центрах Mercedes-Benz, Porsche, Cadillac и других престижных брендов могут использоваться лазерные стенды. Они проверяют геометрию кузова автомобиля без меток, сравнивая ее с параметрами завода-изготовителя. Автоматика исключает человеческий фактор — погрешность измерения не превышает 0,5 %.

Чем плоха нарушенная геометрия кузова?

Хуже всего, что поврежденный автомобиль непредсказуемо ведет себя в последующих ДТП. Нередки случаи, когда при легких столкновениях блокируются двери, смещается руль и перекашивает двигатель. Системы пассивной безопасности, заложенные производителем на стадии проектирования, перестают работать и наносят дополнительный вред пассажирам.

Есть и другие неприятные последствия нарушенной геометрии:

• ускоренный износ подвески, полуосей и шин;
• посторонние звуки на малой скорости;
• попадание пыли, воды и грязи в салон;
• неплотно закрывающиеся двери, которые легко взломать;
• ошибки электроники;
• сильные вибрации и тряска на малейших неровностях;
• увод автомобиля в сторону на скорости 50–100 км/ч.

Как исправить геометрию автомобиля?

Ремонтом занимаются специализированные кузовные СТО. Машину разбирают, чтобы добраться до силовой структуры. Мастер проводит замеры по контрольным точкам, чтобы определить степень деформации с точностью до миллиметра.

Геометрию кузова автомобиля восстанавливают на стапелях. Их крюки цепляются за технологические отверстия в каркасе машины. Специалист выбирает расстояние, на которое нужно сместить силовые элементы. Высокоточная гидравлика выполняет его команды, подтягивая крюки цепями.

Нужно помнить, что у металла есть предел прочности. Сильные удары нарушают его структуру на молекулярном уровне, вызывая «усталость». Если кузов серьезно поврежден, проблемы будут появляться даже после восстановления геометрии. Поэтому при покупке подержанной машины нужно знать, в каких авариях она побывала.

24.06.2021

Метод координат — Геометрия — Презентации

\

ось абсцисс

ось аппликат

z

Начало координат —

точка O

Оси координат —

Ox, Oy, Oz

y

ось ординат

О

Координатные плоскости

«Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян и др.

Oxy, Oyz, Ozx

Система координат

x

Oxyz

2

Положительная полуось

Положительная полуось

Отрицательная полуось

Отрицательная полуось

z

Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью ,

а другой луч – отрицательной полуосью

О

Отрицательная полуось

Положительная полуось

y

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

x

3

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются координатами точки

z

M 3

M

y

M (x; y; z)

О

M 2

x = OM 1

абсцисса

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

M 1

y = OM 2

ордината

z = OM 3

x

аппликата

4

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I I I I

O (0; 0; 0)

N (5; 0; 0)

D

F (0; -2; 0)

D (0; 0; 4)

F

M

О

R (0; 0; -0,5)

I I I I I I I I I

y

R

M (0; 3; 0)

«Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян и др.

S ( x ; 0; 0)

Ox

N

P (0; y ; 0)

Oy

x

T (0; 0; z )

Oz

5

z

I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I

N ( 5 ; 4 ; 0)

C (2;-1; 0)

R (-3; -3; 0)

A

F (0; 4; 3)

F

A (0; -3; 4)

R

M (7; 0; 2)

О

y

I I I I I I I I I

D (6; 0;-3)

M

C

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

S ( x ; y ; 0)

Oxy

N

Oyz

P (0; y ; z )

x

Oxz

T ( x ; 0; z )

D

6

Точка лежит

На оси

В координатной плоскости

Ox ( x ; 0; 0)

Oxy ( x ; y ; 0)

Oyz (0; y ; z )

Oy (0; y ; 0)

«Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян и др.

Oxz ( x ; 0; z )

Oz (0; 0; z )

7

z

I I I I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I I I I I

I I I I I I

I I

I I I

I I I I I I I I

I I I I I

A (4;-2,5; 7)

A

S

R

S (5; 4; 8)

N

D (5; 4;-3)

F (-3; 3;-7)

N (0; 0; 4)

О

I I I I I I I I I

y

R (-2;-3; 4)

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

M (7; 0;-1)

C

x

I I I

C (7; 4;-1)

M

D

F

8

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

k

j

i

, и – координатные векторы

i

=1;

Координатные векторы не компланарны. Поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде

причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

j

=1;

F

k

разложение вектора по координатным векторам

=1

p

k

p = x i + y j + z k

O

y

I I I I I I I I

i

j

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

p{ x; y; z} координаты вектора

F ( x; y; z )

x

9

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I I I I I

Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор.

S

p

Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора.

k

S ( 4; 5 ; 8)

O

I I I I I I I I

y

i

j

p {4; 5 ; 8 }

«Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян и др.

p =4 i + 5 j + 8 k

x

10

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I

I I I I I

I I

OT {4; 5 ; 0}

R

OD {-1; 3; 3}

D

OF {-1; 3;-6}

OM {5; 0; 0}

k

OE {6; 0; 3}

N

O

y

I I I I I I I I

i

j

ON {0; -3; 0}

E

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

OR {-2; -3; 4}

T

M

x

F

11

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

0 {0;0;0}

O ( 0; 0; 0 )

0 =0 i + 0 j + 0 k

i {1;0;0}

j {0;1;0}

e

k

r

O

I I I I I I I I

y

i

j

k {0;0;1}

f

«Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян и др.

e = – i

e {-1;0;0}

r = – j

r {0;-1;0}

x

f {0;0;-1}

f = – k

12

AB a

AB

A

A

a

B

B

Перпендикуляр на прямую

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Перпендикуляр на плоскость

13

x

Oxz

Найти проекции точки М на координатные плоскости.

Oyz

z

M ( x ; y ; z )

M 2

z

M

M 3

y

y

О

Oxy

M M 1 ( x; y; 0)

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Oyz

M 1

M M 2 ( 0 ; y; z )

Oxy

Oxz

x

M M 3 ( x; 0 ; z )

14

x

Oxz

Найти проекции точки М на оси координат.

Oyz

z

M 3

M ( x ; y ; z )

z

M

y

О

y

M 2

Ox

M M 1 ( x; 0 ; 0)

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

M 1

Oy

M M 2 ( 0 ; y; 0 )

Oxy

Oz

x

M M 3 (0 ; 0 ; z )

15

z

I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I I I I I

Координаты равных векторов равны.

S

c = p

p

p {4; 5 ; 8 }

c

k

c {4; 5 ; 8 }

O

y

I I I I I I I I

i

j

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

x

16

z

I I I I I I I I I I

I I I I I I I I

I I I

I I

1) Какой из данных векторов равен вектору

E

3 i – 2 k

О M =

R

2 ) Напишите разложение

вектора ОЕ

по координатным векторам

, и

D

= -2 i + 3 k

k

k

i

j

y

N

O

I I I I I I

3 ) Найдите координаты

вектора О R

j

i

{- 2 ;-3; 3}

T

4 ) Какой вектор имеет

координаты

{2;3;0}

О T

5 ) Отложите от т. О вектор с координатами

x

M

{- 2 ; 3; 2}

О D

17

№ 405

АСВОА 1 С 1 В 1 О 1 прямоугольный параллелепипед.

Найти координаты векторов

z

{ 2 ; 0 ; 2 }

{ 2 ; 0 ; 2 }

O А 1

B 1

O 1

{ 0 ; 3 ; 2 }

{ 0 ; 3 ; 2 }

O В 1

C 1

2

{ 0 ; 0 ; 2 }

O О 1

A 1

y

3

О

{ 2 ; 3 ; 0}

O С

B

2

{ 2 ; 3 ; 2 }

O С 1

A

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

C

ВС 1

АС 1

x

{ 2 ; 3 ; -2 }

О 1 С

18

Координаты вектора

Разложение вектора по координатным векторам

a {-6; 9; 5}

a = – 6 i + 9 j + 5 k

?

n = – 8 i + k

?

n {-8; 0; 1}

c {0; -7; 0}

?

c = – 7 j

m {4; 0; 0}

?

m =4 i

r {-5;-8; 3}

r = –5 i – 8 j +3 k

?

«Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян и др.

s {-7; 1; 0}

?

s = –7 i + j

e {0;3; 21}

?

e = 3 j + 21 k

q {0; 0; 2}

q =2 k

?

19

Координаты вектора

Разложение вектора по координатным векторам

a {-6; 9; 5}

a = – 6 i + 9 j + 5 k

n = – 8 i + k

n {-8; 0; 1}

c {0; -7; 0}

c = – 7 j

m {4; 0; 0}

m =4 i

r {-5;-8; 3}

r = –5 i – 8 j +3 k

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

s {-7; 1; 0}

s = –7 i + j

e {0;3; 21}

e = 3 j + 21 k

q {0; 0; 2}

q =2 k

20

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

1 0

Рассмотрим векторы

a { x 1 ; y 1 ; z 1 }

x 1 i +y 1 j +z 1 k

a = x 1 i +y 1 j +z 1 k

b { x 2 ; y 2 ; z 2 }

x 2 i +y 2 j +z 2 k

b = x 2 i +y 2 j +z 2 k

a+b = + =

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

= ( x 1 + x 2 ) i + (y 1 + y 2 ) j + (z 1 + z 2 ) k

a +b { x 1 +x 2 ; y 1 +y 2 ; z 1 +z 2 }

21

b {0; 7;-1} ,

a {3; -5; 2} ,

Даны векторы

№ 407

2

c { ; 0; 0} ,

d {-2,7; 3,1; 0,5}

3

Найдите

2

c { ;0; 0}

2

{ ;7;-1}

a {3;-5;2}

c +b

+

3

+

3

a {3;-5; 2}

b {0;7;-1}

{-2,7; 10,1; -0,5}

d +b

2

c +a { 3 ;-5;2}

a +b {3;2;1}

{0,3; -1,9; 2,5}

a +d

3

«Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян и др.

2

{3 ; 2; 1}

a +b +c

3

{0,3; 5,1; 1,5}

a +b +d

22

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

2 0

Рассмотрим векторы

a { x 1 ; y 1 ; z 1 }

x 1 i +y 1 j +z 1 k

a = x 1 i +y 1 j +z 1 k

b { x 2 ; y 2 ; z 2 }

b = x 2 i +y 2 j +z 2 k

x 2 i +y 2 j +z 2 k

a –b = – =

( )

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

= ( x 1 – x 2 ) i + (y 1 – y 2 ) j + (z 1 –z 2 ) k

a –b { x 1 –x 2 ; y 1 –y 2 ; z 1 – z 2 }

23

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

3 0

a { x ; y ; z }

a {-2; 1;0}

3

Рассмотрим вектор

3 a {-6; 3; 0}

a = x i +y j +z k

k

a {-2; 0; 3}

(-2)

ka = kx i +ky j +kz k

-2 a {4; 0;-6}

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

ka { kx ; ky ; kz }

a {-2; 5 ;-3}

(- 1 )

— a { 2; -5 ; 3}

24

a — b

Найдите координаты вектора

a {-6; 9;1}

a {-6; 9;1}

a {-6; 9;1}

b {-8;12;-3}

b {-8;12;-3}

b {-8;12;-3}

2 способ

1 способ

(-1)

—

+

a — b {2;-3; 4}

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

-b {8;-12;3}

a — b {2;-3; 4}

25

a — b

№ 409

Найдите координаты вектора , если

1) a {5;-1; 1}; b {-2;1; 0}

1 способ

2 способ

b {-2;1; 0}

(-1)

a {5;-1; 1}

—

b {-2;1; 0}

a {5;-1; 1}

«Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян и др.

+

a — b {7;-2; 1}

-b {2;-1; 0}

a — b {7;-2; 1}

26

№ 4 10

Даны векторы

c {2; 1;-3}

c {2; 1;-3}

a {-1; 2; 0}

b {0;-5;-2}

b {0;-5;-2}

a {-1; 2; 0}

p

p = 3 b – 2 a + c

Найдите координаты вектора

3

3)

1)

3 b {0;-15;-6}

3 b {0;-15;-6}

+

(-2)

2)

-2 a {2;-4; 0}

-2 a {2;-4; 0}

{4;-18;-9}

3 b – 2 a + c

27

Найдите координаты остальных вершин куба.

z

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

y

О

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

A

B( 3 ; 3 ;0)

x

28

Найдите координаты остальных вершин куба.

z

D 1

C 1

A 1

B 1

D

C

y

О

A

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

B( 4 ; 8 ;0)

x

29

№ 4 08

Найдите координаты векторов

OP.

OM,

AC,

BM,

CB,

AB,

MN,

NP,

OA=4

z

OB=9

M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС

OC=2

С

Р

N

y

k

j

М

В

O

i

А

= –4 i + 2 k

= A О + ОС

Из АОС ,

= –О A + ОС

AC

x

AC {-4; 0 ; 2}

30

THE RESEARCH ON THE FAMILIES CONFOCAL ELLIPSES AND HYPERBOLAS THROUGH GEOGEBRA MATHEMATICAL PACKAGE

ИССЛЕДОВАНИЕ СЕМЕЙСТВ СОФОКУСНЫХ ЭЛЛИПСОВ И ГИПЕРБОЛ СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА GEOGEBRA

Научная статья

Пронина Е. В.*

Российский технологический университет, Москва, Россия

* Корреспондирующий автор (elenavladpronina[at]rambler.ru)

Аннотация

В статье приведено задание семейств софокусных эллипсов и гипербол и исследование их свойств средствами математического пакета GeoGebra в курсе «Аналитической геометрии» при изучении темы «Кривые второго порядка» студентами технического вуза. Основной целью статьи является демонстрация интеграции современных информационных технологий в процесс преподавания высшей математики. С помощью встроенных инструментов и команд среды GeoGebra поэтапно показано задание и построение софокусных эллипсов и гипербол. С использованием динамических чертежей рассмотрен процесс «трансформации» одной коники в другую при различных значениях задаваемых параметров. Опираясь на свойства касательных к кривым второго порядка, установлено и исследовано, что софокусные эллипс и гипербола пересекаются под прямым углом. Последний результат рассмотрен для различных случаев взаимного расположения кривых и касательных к ним, проведённых в точке их пересечения. Все полученные результаты обоснованы строго математически.

Ключевые слова: GeoGebra, преподавание математики, кривые второго порядка, эллипс, гипербола, касательные к коникам, оптические свойства коник, софокусные коники, углы между кривыми.

THE RESEARCH ON THE FAMILIES CONFOCAL ELLIPSES AND HYPERBOLAS THROUGH GEOGEBRA MATHEMATICAL PACKAGE

Research article

Pronina E.V.*

Russian Technological University, Moscow, Russia

* Corresponding author (elenavladpronina[at]rambler.ru)

Abstract

The article describes setting the families of confocal ellipses and hyperbolas and studying their properties through the GeoGebra mathematical package in the course «Analytic geometry» under the topic «Second-order curve» by the students of a technical college. The primary purpose of the article is to demonstrate the integration of modern information technology into the process of teaching higher mathematics. Using the built-in tools and commands of the GeoGebra environment, the setting and construction of confocal ellipses and hyperbolas are shown step-by-step. Using the dynamic drawings, the author considers the process of «transformation» of one conic into another at different values of the specified parameters. Relying on the properties of a tangent to a second-order curve, the author found and analyzed that the confocal ellipse and the hyperbola intersect at a right angle. The last result is considered for various cases of the mutual arrangement of curves and tangents at the point of their intersection. All the results obtained are justified strictly mathematically.

Keywords: GeoGebra, teaching mathematics, second-order curves, ellipse, hyperbola, tangents to conics, optical properties of conics, confocal conics, angles between curves.

Введение

В курсе «Аналитическая геометрия» в техническом вузе предусмотрено изучение темы «Кривые второго порядка». Для решения сложных задач, выходящих за рамки программы, к сожалению, не всегда остаётся время. Одним из таких вопросов является вопрос рассмотрения софокусных коник и их свойств. Его рассмотрение удобно организовать с помощью динамических чертежей математического пакета GeoGebra, позволяющего моделировать и решать различные геометрические задачи, проводить анализ геометрической конфигурации объектов, строить графики функций, получать изображения плоских фигур и устанавливать связи между их элементами, проводить дополнительные построения, создавать анимацию рисунков.

Динамичность используемой математической среды полностью отвечает современным запросам общества для быстрого, правильного и наглядного получения результата, проверки гипотез. В результате подобной интеграции современных информационных технологий в образовательный процесс вуза происходит приобщение студентов к исследовательской деятельности средствами научных разработок в области информатики, что позволяет повысить мотивацию обучения и общую компьютерную грамотность обучающихся.

Процесс моделирования задачи, её пошаговое результативно-визуальное решение с помощью динамических чертежей способствует систематизации, глубокому пониманию и усвоению теоретических основ темы, а также, формированию навыков, связанных с применением математических методов в конструировании объектов.

Исследование общих свойств софокусных коник средствами пакета GeoGebra

В этом разделе рассмотрим общее задание софокусных коник и изучим процесс трансформации одной коники в другую средствами пакета GeoGebra. Поскольку основной целью статьи является демонстрация интеграции пакета GeoGebra в учебный процесс, будем приводить обоснования получаемых результатов.

Зададим на плоскости две точки . Не нарушая общности, будем полагать, что они находятся на оси абсцисс. Рассмотрим семейство всех эллипсов и гипербол, для которых  являются фокусами. Такие эллипсы и гиперболы называются софокусными. Центры эллипса и гиперболы совпадают и находятся в начале координат. Большая ось эллипса и действительная ось гиперболы находятся на оси Ox, малая ось эллипса и мнимая ось гиперболы находятся на оси Oy.

Уравнение произвольной линии рассматриваемого семейства можно записать в виде  – каноническое уравнение семейства софокусных эллипсов и гипербол. При этом параметр .

Реализация в среде GeoGebra

Шаг 1. Зададим значение параметра c (для примера произвольно, например, c=4)

В строке ввода введём с=4.

Для дальнейших исследований можно задать диапазон значений параметра c. Для этого необходимо выбрать появившийся «бегунок»  и установить границы изменения параметра, например, от 0 до 4.

Шаг 2. Зададим фокусы

В строке ввода введём F1=(-c,0).

В строке ввода введём F2=(c,0).

Шаг 3. Зададим значение параметра a (для примера произвольно, соблюдая )

В строке ввода введём a=6.

Шаг 4. Зададим значение параметра b

В строке ввода введём 

Шаг 5. Зададим значение параметра t. В качестве начального значения выберем t=0.

В строке ввода введём 

Шаг 6. Теперь непосредственно зададим конику.

В строке ввода введём 

Результат выполнения шагов 1-6 представлен на рисунке 1.

Рис. 1 – Результат выполнения шагов 1-6

Рассмотрим возможные значения параметра t.

1. . В этом случае . Очевидно, нет точек плоскости, координаты которых удовлетворяли бы уравнению кривой.

Рассмотрим случай 1 в среде GeoGebra.

Шаг 7. Для параметра t введём границы изменения, например, от -50 до  с шагом 1, см. рисунок 2.

Рис. 2 – Результат выполнения шага 7

Нажав на кнопку , запустим бегунок и убедимся, что нет точек плоскости, координаты которых удовлетворяли бы заданному параметру. Обратите внимание, при  для g появляется значение «не определено».

2. . В этом случае множеством точек плоскости, удовлетворяющим заданию кривой g, является гипербола. С действительной полуосью  и мнимой полуосью .

Рассмотрим случай 2 в среде GeoGebra.

Шаг 8. Для параметра t введём границы изменения от  с шагом 1.

Нажав на кнопку , запустим бегунок и убедимся, что при каждом значении параметра t получается гипербола. Можно заметить, что при  слева, гипербола сжимается к оси Ox, что соответствует уменьшению мнимой полуоси гиперболы. При  справа, гипербола сжимается к оси Oy, что соответствует уменьшению действительной полуоси гиперболы.

3. . В этом случае множеством точек плоскости, удовлетворяющим заданию кривой g, является эллипс. С большой полуосью  и малой полуосью .

Рассмотрим случай 3 в среде GeoGebra.

Шаг 9. Для параметра t введём границы изменения от  до, например, 50 с шагом 1.

Нажав на кнопку , запустим бегунок и убедимся, что при каждом значении параметра t получается эллипс. Можно заметить, что при  справа, большая полуось эллипса стремится к c, тогда как малая стремится к нулю и эллипс сжимается к оси Ox. При  эллипс «округляется», поскольку его эксцентриситет стремится к единице.

Если теперь для параметра t задать границы изменения, например, от -50 до 50 с шагом 1, то можно с помощью динамического чертежа проследить весь процесс трансформации, описанный в случаях 1-3 и реализованный в шагах 7-8.

Приложение свойств касательных к семействам софокусных коник

В этом разделе, используя пакет GeoGebra, исследуем экспериментально один очень интересный результат, относящийся к семейству софокусных коник и часто остающийся за пределами вузовской программы.

1. Постановка задачи

Доказать, что любые эллипс и гипербола из семейства софокусных коник пересекаются под прямым углом.

Углом между двумя пересекающимися кривыми называется угол между касательными к ним в точке их пересечения.

Будем считать, что фокусы коник расположены на оси Ox. В этом исследовании предусмотрим случай, когда центр эллипса и гиперболы может быть смещён относительно начала координат, при этом оси симметрии эллипса и гиперболы остаются параллельны осям Ox и Oy.

На первом шаге зададим фокусы, затем вычислим половину фокусного расстояния c. Для обобщения результатов исследования, длину большой полуоси эллипса и главной оси гиперболы будем задавать в некоторых границах больше или меньше параметра c соответственно.

Далее рассмотрим решение задачи только в среде GeoGebra.

2. Реализация в среде GeoGebra

Шаг 1. Зададим фокусы эллипса и гиперболы.

В строке ввода введём F1=(-4,0) и F2=(4,0) (например).

Шаг 2. Вычислим половину фокусного расстояния c.

В строке ввода введём с=(abs(x(F1))+ abs(x(F2)))/2.

Шаг 3. Зададим большую полуось эллипса, назвав её аэ.

В строке ввода введём аэ=5 (например).

Далее, нажав на появившийся бегунок, зададим границы изменения большой полуоси от c+1 до 10 (например), шаг 1.

Шаг 4. Зададим действительную полуось гиперболы, назвав её аг.

В строке ввода введём аг=3 (например).

Далее, нажав на появившийся бегунок, зададим границы изменения действительной полуоси от 1 до с-1 (например), шаг 1.

Шаг 5. Построим эллипс.

В строке ввода введём Эллипс(F1,F2,аэ).

Изменим цвет, например, на синий. Для этого необходимо щёлкнуть правой кнопкой мыши на кривой, далее выбрать Настройки→Цвет.

Шаг 6. Построим гиперболу.

В строке ввода введём Гипербола(F1,F2,аг).

Изменим цвет, например, на зелёный.

Шаг 7. С помощью инструмента  «Точка»→«Пересечение», найдём точки пересечения эллипса и гиперболы.

Результат выполнения шагов 1-7 представлен на рисунке 3.

Рис. 3 – Результат выполнения шагов 1-7

Перейдём к построению касательных к кривым и нахождению угла между ними.

Шаг 8. С помощью инструмента  «Касательная», построим касательную к эллипсу в одной из точек пересечения эллипса и гиперболы. Например, в точке B.

Шаг 9. С помощью инструмента  «Касательная», построим касательную к гиперболе также в точке B.

Шаг 10. С помощью инструмента  «Угол», найдём угол между построенными касательными.

Результат выполнения шагов 1-10 представлен на рисунке 4.

Рис. 4 – Результат выполнения шагов 1-10

  Шаг 11. С помощью инструмента «Бегунок» будем менять значения параметров аэ и аг. Формы эллипса и гиперболы будут изменяться, но угол между ними будет оставаться прямым. Один из примеров приведён на рисунке 5.  

Рис. 5 – Пример изменения значения параметров аэ и аг

  Шаг 12. Поменяем фокусы, сместив центры кривых. Как видно из рисунка, угол между эллипсом и гиперболой также останется прямым.  

Рис. 6 – Угол между эллипсом и гиперболой

Поскольку параметры были выбраны произвольно, то полученный динамически результат доказывает, что любые эллипс и гипербола из семейства софокусных коник пересекаются под прямым углом.

Выводы

Использование динамических чертежей математического пакета GeoGebra позволяет значительно упростить рассмотрение сложных задач аналитической геометрии, требующих большой визуализации, а также расширить спектр рассматриваемых задач. Кроме того, наглядность полученного с помощью пакета GeoGebra результата способствует глубокому усвоению и пониманию геометрических основ физических явлений. А, следовательно, и более простому их дальнейшему использованию в инженерных расчётах.

Данный материал может быть использован на семинарских и факультативных занятиях со студентами, для организации самостоятельной научно-исследовательской деятельности учащихся или дистанционного обучения.

Список литературы / References

1. Акопян А.В. Геометрические свойства кривых второго порядка / А.В. Акопян, А.А. Заславский. – М.:МЦНМО, 2007. -136с.
2. Безумова О.Л. Обучение геометрии с использованием возможностей GeoGebra/ Безумова О.Л., Овчинникова Р.П. и др. Архангельск, Изд. ООО «Кира», 2011. – 140 с.
3. Есаян А.Р. Преобразования объектов в GeoGebra / А.Р. Есаян, Н.М. Добровольский // Чебышевский сб., 2017. Т.18, вып.2. С.129-143.
4. Есаян А. Р. Динамическая образовательная среда GeoGebra / А.Р. Есаян, Н.М. Добровольский, Е.А. Седова, А.В. Якушин– Тула: Извд-во Тул.гос.пед.ун-та им. Л.Н.Толстого, 2017. – Ч.1. – 417 с.
5. Есаян А.Р. Экспериментальное обоснование гипотез в GeoGebra / А.Р. Есаян, А.В. Якушин // Чебышевский сб., 2017. Т.18, вып.1. С.92-108.
6. Заславский А.А. Геометрические преобразования / А.А. Заславский. М.: МЦМНО, 2004. – 86 с.
7. Краснов М.Л. Вся высшая математика: Учебник. Т. 1. Изд.4-е / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И Макаренко и др. – М. Едиториал УРСС, 2012. – 336 с.
8. Ларин С.В. Методика обучения математике: Компьютерная анимация в среде GeoGebra: учебное пособие для вузов / С.В. Ларин. – М.Издательство Юрайт, 2018. – 233 с.
9. Лубягина Е.Н. Опыт организации учебно-исследовательской деятельности студентов при изучении кривых второго порядка / Е.Н. Лубягина, Л.В. Тимшина // Вестник Сыктывкарсого университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. – 2017. – № 2 (23). – С. 71-84.
10. Постников М.М. Аналитическая геометрия / М.М. Постников. – М.: «Наука», 1973. – 754с.
11. Смирнов В.А. Геометрия с GeoGebra. Планиметрия / В.А. Смирнов, И.М. Смирнова. – М.: «Прометей», 2018. – 206с.
12. Смирнов В.А. Геометрия с GeoGebra. Стереометрия / В.А. Смирнов, И.М. Смирнова. – М.: «Прометей», 2018. – 172с.
13. Чеботарева Э.В. Компьютерный эксперимент с GeoGebra / Э.В. Чеботарева. – Казань: Казанский ун-т, 2015. – 61 с.
14. GeoGebra Manual. The official manual of GeoGebra. PDF generated. – 325p.

Список литературы на английском языке / References in English

1. Akopyan A.V. Geometricheskie svojstva krivy`x vtorogo poryadka [Geometric properties of second-order curves] / A.V. Akopyan, A.A. Zaslavskii. – M.:MCNMO, 2007. -136p. [in Russian]
2. Bezumova O. L. Obuchenie geometrii s ispol`zovaniem vozmozhnostej GeoGebra [Teaching geometry using GeoGebra] / Bezumova O.L., Ovchinnikova R.P. et al. Arxangel`sk, Publishing house OOO «Kira», 2011. – 140 p. [in Russian]
3. Yesayan A.R. Preobrazovaniya ob«ektov v GeoGebra / A.R. Yesayan, N.M. Dobrovolskii [Object transformations in GeoGebra] // Cheby`shevskij sb., 2017. V.18, vyp.2. p.129-143. [in Russian]
4. Yesayan A.R. Dinamicheskaya obrazovatel`naya sreda GeoGebra [GeoGebra, the dynamic educational environment] / A.R. Yesayan, N.M. Dobrovolskii, E.A. Sedova, A.V. Yakushin. – Tula: Izvd-vo Tul.gos.ped.un-ta im. L.N.Tolstogo, 2017. – Issue1. – 417 p. [in Russian]
5. Yesayan A.R. E`ksperimental`noe obosnovanie gipotez v GeoGebra [Experimental justification of hypotheses in GeoGebra] / A.R. Yesayan, A.V. Yakushin. // Cheby`shevskij sb., 2017. V.18, vyp.1. p.92-108. [in Russian]
6. Zaslavskii A.A. Geometricheskie preobrazovaniya [Geometric transformations] / A. A. Zaslavskii. – M.: MCzMNO, 2004. – 86 p. [in Russian]
7. Krasnov M.L. Vsya vy`sshaya matematika: Uchebnik. V. 1. Ed.4 [All the further mathematics: Textbook. Vol. 1. Ed. 4th] / M.L. Krasnov, A.I. Kiselev, G.I Makarenko, E.V Shikin, V.I. Zalyapin, S.K. Sobolev. – M. Editorial URSS, 2012. – 336 p. [in Russian]
8. Larin S.V. Metodika obucheniya matematike: Komp`yuternaya animaciya v srede GeoGebra: uchebnoe posobie dlya vuzov [Mathematics teaching method: Computer animation in the GeoGebra environment: a textbook for universities] / S.V Larin. . – M. Publishing house Yurajt, 2018. – 233 p. [in Russian]
9. Lubyagina E.N. Opy`t organizacii uchebno-issledovatel`skoj deyatel`nosti studentov pri izuchenii krivy`x vtorogo poryadka [Experience in organizing educational and research activities of students in the study of second-order curves] / E.N. Lubyagina, L.V. Timshina // Vestnik Sy`kty`vkarsogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mexanika. Informatika. – 2017. — № 2 (23). – p. 71-84. [in Russian]
10. Postnikov M.M. Analiticheskaya geometriya [Analytical geometry] / M.M. Postnikov. – M.: «Nauka», 1973. – 754p. [in Russian]
11. Smirnov V.A. Geometriya s GeoGebra. Planimetriya [Geometry with GeoGebra. Planimetry] / V.A. Smirnov, I.M. Smirnova. – M.: «Prometej», 2018. – 206 p. [in Russian]
12. Smirnov V.A. Geometriya s GeoGebra. Stereometriya [Geometry with GeoGebra. Stereometry] / V.A. Smirnov, I.M. Smirnova. – M.: «Prometej», 2018. – 172 p. [in Russian]
13. Chebotareva E.V. Komp`yuterny`j e`ksperiment s GeoGebra [Computer experiment with GeoGebra] / E`.V. Chebotareva. – Kazan`: Kazanskij un-t, 2015. – 61 p. [in Russian]
14. GeoGebra Manual. The official manual of GeoGebra. PDF generated. – 325p.

Большая полуось — Academic Kids

From Academic Kids

В геометрии большая полуось (также большая полуось ) a применяется к эллипсам и гиперболам.

Эллипс

Большая полуось эллипса — это половина большой оси, проходящей от центра через фокус к краю эллипса. Большая ось — это самая длинная линия, проходящая через центр и оба фокуса эллипса, причем ее концы находятся в самых широких точках формы.

Он связан с малой полуосью

Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов, где один фокус остается фиксированным, а другой может перемещаться произвольно далеко в одном направлении, удерживая l фиксированным. Таким образом, через и через стремятся к бесконечности, через быстрее, чем через .

Большая полуось представляет собой среднее значение наименьшего и наибольшего расстояния от одного фокуса до точек эллипса. Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах, с одним фокусом в начале координат, а другим в положительном 93/\му

где:

$a\backslash ,$ —\; длина\; большой\; полуоси\; орбиты$$

$\backslash mu$ стандартный\; гравитационный\; параметр$$

Обратите внимание, что для всех эллипсов с заданной большой полуосью период обращения одинаков, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось является одним из наиболее важных элементов орбиты, наряду с ее периодом обращения. Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально полученным эмпирическим путем), 93\,<математика>

, где G — гравитационная постоянная, M — масса центрального тела, а m — масса вращающегося тела. Как правило, масса центрального тела настолько больше массы вращающегося тела, что m можно не учитывать. Делая это предположение и используя типичные астрономические единицы, мы получаем более простую форму, открытую Кеплером.

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось — это «среднее» расстояние между главной (фокусом эллипса) и вращающимся телом. Это не совсем точно, так как зависит от среднего значения. 92}{2})\,<математика>.

Энергия; расчет большой полуоси по векторам состояния

В астродинамике большая полуось $a\; \backslash ,$ может\; быть\; рассчитана\; по\; векторам\; состояния\; орбиты:$$

$a\; =\; \{\; —\; \backslash mu\; \backslash over\; \{2\backslash epsilon\}\}\backslash ,$ для\; эллиптической\; орбиты\; и$ a\; =\; \{\backslash mu\; \backslash over\; \{2\backslash epsilon\}\}\backslash ,$ для\; гиперболической\; траектории\; 92\; \backslash \; над\; \{2\}\; \}\; —\; \{\backslash \; му\; \backslash \; над\; \backslash \; влево\; |\; \backslash mathbf\{r\}\; \backslash right\; |\}$ (удельная\; орбитальная\; энергия)$$$$$

и

$\backslash mu\; =\; GM\; \backslash ,$ (стандартный\; гравитационный\; параметр),$$

где:

• $v\backslash ,$ —\; орбитальная\; скорость\; от\; вектора\; скорости\; орбитального\; объекта,$$
• $\backslash mathbf\{r\; \}\backslash ,$ —\; декартов\; вектор\; положения\; находящегося\; на\; орбите\; объекта\; в\; координатах\; системы\; отсчета,\; относительно\; которой\; должны\; быть\; рассчитаны\; элементы\; орбиты\; (например,\; геоцентрический\; экваториальный\; для\; орбиты\; вокруг\; Земля\; или\; гелиоцентрическая\; эклиптика\; для\; орбиты\; вокруг\; Солнца),$$
• $G\; \backslash ,$ —\; гравитационная\; постоянная,$$
• $M\; \backslash ,$ масса\; центрального\; тела.$$

Обратите внимание, что для данного центрального тела и полной удельной энергии большая полуось всегда одна и та же, независимо от эксцентриситета. Наоборот, для данного центрального тела и большой полуоси полная удельная энергия всегда одинакова.

Пример

Период обращения Международной космической станции составляет 91,74 минуты, следовательно, большая полуось составляет 6738 км [1] ( http://www.google.com/search?num=100&hl=en&lr=&newwindow=1&safe=off&q=%28%2891.74*60%2F2%2Fpi%29%5E2*398600%29%5E%281%2F3% 29 ). Каждая дополнительная минута соответствует ок. Еще 50 км: дополнительные 300 км длины орбиты занимают 40 секунд, на меньшую скорость приходится еще 20 секунд.

Ссылки

• Джереми Б. Татум, Небесная механика, Глава 9. Задача двух тел в двух измерениях (2004) ( http://orca.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm9.pdf )
• Даррен М. Уильямс, Среднее расстояние между звездой и планетой на эксцентрической орбите , Американский журнал физики, ноябрь 2003 г. , том 71, выпуск 11, стр. 1198–1200 ( http://scitation.aip. org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=AJPIAS000071000011001198000001&idtype=cvips&gifs=yes )bg:Голяма полуос

pl:płoś wielka fr: Полувеликий топор это: Semiasse maggiore тр: Ана Эксен

Ускоренный курс по базовой геометрии эллипса · Давиде Аверса

Math

Поскольку я начал небольшую серию статей об астрономических алгоритмах и волшебстве математики в космосе, я думаю, что нам нужно осветить важное предварительное условие. В серии я буду много говорить об эллипсах (дух), я перейду от больших полуосей , к периапсису , к эксцентриситету , к центру эллипса и фокусам эллипса . Меня беспокоит, что все может стать более сложным, чем ожидалось, если читатели не знают многих геометрических свойств эллипса. По этой причине я ставлю здесь эту vade mecum по геометрии эллипса. Резюме со всеми основными моментами и длинами. Место, на которое я могу ссылаться везде, где мне нужно обновить определение.

Это только царапает поверхность свойств эллипса. Но я думаю, что этого достаточно для того, что нам сейчас нужно. Итак, давайте начнем с самого начала.

Вы можете нажать на элементы эллипса, чтобы перейти к соответствующим определениям ниже.

Определение эллипса

Все мы, наверное, знаем классическое определение эллипса: эллипс — это множество точек, для каждой из которых сумма расстояний до двух 92}= 1 $$

Где \(a\) снова большая полуось, а \(b\) малая полуось .

Важные моменты

Центр

Центр эллипса обычно определяется символом \(C\). Это средняя точка между двумя фокусами \(F_1\) и \(F_2\). Как следствие, одна формула, включающая центр, является очевидной Рамка. Однако, как правило, предпочтительнее ставить начало в том фокусе, в котором находится основное тело.

Фокусы

Как мы видели ранее, фокусы — это две точки вдоль большой оси эллипса такие, что сумма расстояний между любой точкой эллипса и двумя фокусами равна самой большой оси. Фокусы — это две наиболее важные точки эллипса. Они являются эквивалентом эллипса центра круга. Они являются местом расположения свойств большого эллипса и, что наиболее важно, в астромеханике одним из фокусов является место, в котором мы можем найти небесное тело, вокруг которого вращается другое тело. 92 $$

В этой формуле \( c\) также называется линейным эксцентриситетом .

Как я уже говорил, есть много свойств, связанных с фокусом эллипса. Одним из моих любимых является тот факт, что любой луч, проходящий через один фокус и «отскакивающий» от эллипса, заканчивается прохождением через другой фокус.

Периапсис и Апоапсис

Эти две точки представляют соответственно самую близкую и самую дальнюю точку к фокусу \( F_1\). Очевидно, что мы можем выбрать \(F_2\) в качестве эталонного фокуса и получить полностью симметричные результаты. + \) очень важны в астромеханике, где они получили разные названия в зависимости от центра масс орбитальной системы. Например, когда мы рассматриваем Солнце, мы называем их «перигелием» и «афелием»; когда мы рассматриваем Землю, мы называем их «перигей» и «апогей». 9+\).

Если мы возьмем среднее арифметическое перицентра и апоцентра, мы получим большую полуось \(a\).

$$ a = \frac{1}{2}(r_{max} + r_{min}) $$

Если мы возьмем среднее геометрическое перицентра и апоцентра, мы получим малую полуось \(б\) .

$$ b = \sqrt{r_{max} r_{min}} $$

Если мы возьмем среднее гармоническое перицентра и апоцентра, мы получим semi-latum rectus \(р\).

$$ p = \frac{2}{\frac{1}{r_{max}} + \frac{1}{r_{min}}} $$

Я нахожу удивительным, как три разных вида средних значений одни и те же два значения могут быть связаны с тремя такими важными показателями.

Наконец, поскольку мы можем выразить \( a\) и \( b\) через \( r_{min}\) и \( r_{max}\), мы можем найти очень полезную формулу для эллипса эксцентриситет .

$$ e = \frac{r_{max}-r_{min}}{r_{max}+r_{min}} $$

Важные меры

Большая полуось

Большая полуось \(a\) является половиной большой оси , линии, проходящей через два фокуса от одного конца эллипса к другому. Это один из основных параметров эллипса, наиболее известный как параметр, делящий \(х\) в аналитической формуле.

Большая ось также является константой, с которой суммируются расстояния от двух фокусов в определении эллипса.

Малая полуось

Возьмите центр эллипса и проведите линию, проходящую через него перпендикулярно большой оси. Размер этого сегмента 92 $$

Отношение \( c\) и \( a\) определяет эксцентриситет эллипса \(e\). Но мы увидим, что есть более простой способ вычислить \(e\), чем прохождение через \(c\). 2}{a} $$

Возможно, это менее интересные меры. Но это может пригодиться, поэтому это важно знать.

Эксцентриситет

Наконец, эксцентриситет \(e\) является еще одним чрезвычайно важным параметром. Грубо говоря, эксцентриситет — это значение от 0 до 1 (не включено), которое представляет, насколько эллипс «растянут». Более формально, он измеряет, насколько эллипс отличается от окружности.

Формально определяется как соотношение между линейный эксцентриситет и большая полуось .

Причина, по которой это значение так важно, заключается в том, что оно кодирует «асимметрию» эллипса в плотном и красивом числе между 0 и 1. В результате это позволяет нам легко переключаться между элементами любой пары мер . Мы можем использовать \(e\) для перехода от \(a\) к \(b\). От \(b\) до \(p\). От \( p\) до \( r_{min}\). И более.

Как вы понимаете, существует слишком много способов вычислить эксцентриситет, исходя из любых двух параметров. Вот они самые полезные! 92}} $$

Выводы

Как я уже сказал, это просто краткое введение в некоторые определения, которые нам понадобятся в качестве отправной точки для разговоров об орбитах и ​​прочем. В следующей статье мы продолжим наше путешествие в космос, рассказывая о временах года и их процедурной генерации.

Избранное изображение: Эллипсы Джошуа «Бларгаса» Хикса

    SearchNeighborhoodSmooth ({majorSemiaxis}, {minorSemiaxis}, {angle}, {smoothFactor})   

 импорт аркпи
arcpy.env.workspace = "C:/gapyexamples/data"
arcpy.LocalPolynomialInterpolation_ga(
    "ca_ozone_pts", "OZONE", "outLPI", "C:/gapyexamples/output/lpiout", "2000",
    "2", arcpy.SearchNeighborhoodSmooth(300000, 300000, 0, 0.5), "QUARTIC",
    "", "", "", "", "ПРОГНОЗ") 

 # Имя: LocalPolynomialInterpolation_Example_02.py
# Описание: Локальная полиномиальная интерполяция подходит ко многим полиномам, каждый из которых
# в указанных перекрывающихся районах.
# Требования: расширение Geostatistical Analyst
# Импорт системных модулей
импортировать аркпи
# Установить параметры среды
arcpy.env.workspace = "C:/gapyexamples/data"
# Установить локальные переменные
inPointFeatures = "ca_ozone_pts.shp"
zField = "озон"
выходной слой = "выходной ЛПИ"
outRaster = "C:/gapyexamples/output/lpiout"
размер ячейки = 2000,0
сила = 2
функция ядра = "КВАРТИК"
пропускная способность = ""
использоватьConNumber = ""
конномер = ""
поле веса = ""
outSurface = "ПРОГНОЗ"
# Установить переменные для поиска окрестности
majSemiaxis = 300000
минполуоси = 300000
угол = 0
SmoothFactor = 0,5
searchNeighbourhood = arcpy.SearchNeighborhoodSmooth(majSemiaxis, minSemiaxis,
                                                     угол, SmoothFactor)
# Выполнить локальную полиномиальную интерполяцию
arcpy. LocalPolynomialInterpolation_ga(inPointFeatures, zField, outLayer, outRaster,
                                      размер ячейки, мощность, searchNeighbourhood,
                                      функция ядра, пропускная способность, useConNumber,
                                      conNumber, weightField, outSurface)