Что значит натуральное число: Натуральные числа: определение, примеры, свойства

Натуральные числа: определение, примеры, свойства

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Особенности натуральных чисел
Наименьшее натуральное число: единица (1). Наибольшее натуральное число: не существует. Натуральный ряд бесконечен. У натурального ряда каждое следующее число больше предыдущего на единицу: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т. д. Множество всех натуральных чисел принято обозначать латинской буквой N.

Какие операции возможны над натуральными числами

Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!

Демоурок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Представим, что перед нами банан 🍌. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».

Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, любое дерево из множества деревьев — единица, любой листок из множества листков — единица.

Представим, что перед нами 2 банана 🍌🍌. Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:

🍌🍌🍌	3 предмета («три»)
🍌🍌🍌🍌	4 предмета («четыре»)
🍌🍌🍌🍌🍌	5 предметов («пять»)
🍌🍌🍌🍌🍌🍌	6 предметов («шесть»)
🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌	7 предметов («семь»)
🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌	8 предметов («восемь»)
🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌🍌	9 предметов («девять»)

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «ноль». Напомним, что ноль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Ноль предметов значит — ни одного.

Бесплатные занятия по английскому с носителем

Занимайтесь по 15 минут в день. Осваивайте английскую грамматику и лексику. Сделайте язык частью жизни.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит, речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит, перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.

Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Сколько всего натуральных чисел?

Однозначных 9, двузначных 90, трехзначных 900 и т.д.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

множество натуральных чисел	бесконечно и начинается с единицы (1)
за каждым натуральным числом следует другое	оно больше предыдущего на 1
результат деления натурального числа на единицу (1)	само натуральное число: 5 : 1 = 5
результат деления натурального числа самого на себя	единица (1): 6 : 6 = 1
переместительный закон сложения	от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4
сочетательный закон сложения	результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
переместительный закон умножения	от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 × 5 = 5 × 4
сочетательный закон умножения	результат произведения множителей не зависит от порядка действий; можно хоть так, хоть эдак: (6 × 7) × 8 = 6 × (7 × 8)
распределительный закон умножения относительно сложения	чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 × (5 + 6) = 4 × 5 + 4 × 6
распределительный закон умножения относительно вычитания	чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5
распределительный закон деления относительно сложения	чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + 8) : 3 = 9 : 3 + 8 : 3
распределительный закон деления относительно вычитания	чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 − 3) : 2 = 5 : 2 − 3 : 2

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Вопрос для самопроверки

Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

1. 0 и 15;

2. 20 и 50;

3. 100 и 130?

Натуральные числа: определение, свойства, примеры

Математика начинается с натуральных чисел. Мы оперируем ими ежедневно: складываем, вычитаем, умножаем. Это лишь верхушка айсберга. Мы попросили учителя математики рассказать, что такое натуральные числа и каковы их особенности

Екатерина Заева

Автор КП

Наталия Черняк

Учитель математики; профессиональный
стаж работы 11 лет

Натуральные числа применялись человеком всегда. Даже в древности, используя для счета пальцы или палочки, люди обращались к натуральным числам. Считали, по порядку на единицу увеличивая исходное значение. Ловили рыбу — один карась, второй, третий. Продавали зерно — один мешок, второй, третий. Делали пряжу — один клубок, второй, третий.

Дальше числа оформили графически, а сейчас с их помощью выполняют любые математические действия.

Определение натуральных чисел

Натуральное — это число, которое применяется при счете. С его помощью можно определить количество любых предметов, их осязаемую последовательность. Например, подсчитать, сколько денег в кошельке, ворон на ветке, долек в апельсине, цветов в радуге.

Ряд натуральных чисел открывает единица. А замыкающего у него нет — он бесконечен. При этом в натуральном ряду каждый следующий символ на единицу больше предшественника — 10, 11, 12… Только так и никак иначе.

К натуральным не относятся отрицательные числа, дроби и ноль. С их помощью мы не можем посчитать конкретные, осязаемые предметы.

Натуральными не являются числа, которые не применяются для счета предметов, например отрицательные числа и дроби

Натуральные числа классифицируются по разрядам. Разряд зависит от количества знаков в числе. Как правило, в повседневной жизни используются первые пятнадцать разрядов натуральных чисел: единицы (1, 2, 3), десятки (10, 20, 30), сотни (100, 200, 300) и далее вплоть до сотен триллионов (пятнадцатый разряд).

В каждом разряде натуральные числа различаются по классам, чтобы с помощью них было удобнее считать. Например, в числе 238 672 последние три цифры представляют класс единицы, а первые три — класс тысячи. При этом внутри класса каждое число занимает свое место — сотни, десятки, единицы (238, 672).

В ТЕМУ

Получается, что четкая иерархия и понятная последовательность — главные принципы натуральных чисел. Простота, удобство и универсальность — их основной конек. Поэтому каждый человек в любой точке земного шара, знакомый с десятичной системой исчисления, знает, как прочитать любое число и как с ним работать.

Свойства натуральных чисел

Считать, считать и еще раз считать. Это их прямое и самое важное назначение. С их помощью выполняются самые популярные математические расчеты. Они помогают сложить и умножить числа, вычесть из одного другое, разделить и возвести в степень.

При этом отдельные свойства натуральных чисел упрощают их использование, делая счет простым и понятным. Например, перемена мест слагаемых или множителей при неизменном итоговом результате.

В ТЕМУ

Примеры натуральных чисел

100, 5769, 13, 48221, 487654321 — любое целое положительное число будет натуральным.

Популярные вопросы и ответы

Наталия Черняк, учитель математики; профессиональный стаж работы 11 лет

Какие числа не являются натуральными?

— Натуральными не являются числа, которые не применяются для счета предметов. В математике это отрицательные и нецелые числа. Вот простой пример. Зимой столбик термометра опускается ниже ноля градусов, показывая значения: -3, -10, -25. Эти числа отрицательные. Они натуральными не являются. Что касается нецелых чисел, то здесь приведу такой пример. В корзине лежало пять целых яблок и еще одна половинка. Половинка – это нецелое яблоко, ее нельзя представить целым числом. Ее записывают с помощью дробей: 0,5 или ½. Дроби также не относятся к натуральным числам.

Какие числа образуют натуральный ряд?

— Все натуральные числа, записанные в порядке возрастания, и есть натуральный ряд. Вернемся к нашей корзинке с яблоками и посчитаем фрукты. Одно яблоко, два, три… Каждый раз их количество увеличивается на одно – яблок становится все больше и больше. Если это записать с помощью чисел (1, 2, 3, 4, 5…), как раз и получится натуральный ряд.

Что такое наименьшее натуральное число?

— Применительно к нашей корзинке с яблоками это минимальное количество фруктов, которое может в ней лежать. Наименьшим натуральным числом принято считать единицу. Именно с нее начинается счет предметов.

Относится ли ноль к натуральным числам?

— Ноль означает некое отсутствие чего-либо, счет предметов с него не начинается. Соответственно, к натуральным числам он не относится.

Натуральные числа

Ну что ж, проверим вашу память и внимательность. Ответьте на несложные вопросы про натуральные числа и их свойства и посмотрите, насколько хорошо вы запомнили материал.

Пройти тест

15674

Ноль не является натуральным числом, он не может стоять в начале натурального числа, счет предметов с него не начинается.

3

Ноль не является натуральным числом, он не может стоять в начале натурального числа, счет предметов с него не начинается.

0987

Ноль не является натуральным числом, он не может стоять в начале натурального числа, счет предметов с него не начинается.

6765744558899900

Ноль не является натуральным числом, он не может стоять в начале натурального числа, счет предметов с него не начинается.

Дальше

Проверить

Узнать результат

231, 232, 233, 236, 237, 238, 239

В натуральном ряду каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

765, 743, 744, 745, 746, 747, 758

В натуральном ряду каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9

В натуральном ряду каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

34561, 34562, 34563, 34565, 34566, 34567

В натуральном ряду каждое следующее число на единицу больше предыдущего.

Дальше

Проверить

Узнать результат

101

100 — наименьшее трехзначное число. В натуральном ряду каждое следующее число на 1 отличается от предыдущего, поэтому за числом 100 следует число 101 — 100+1=101.

99

100 — наименьшее трехзначное число. В натуральном ряду каждое следующее число на 1 отличается от предыдущего, поэтому за числом 100 следует число 101 — 100+1=101.

1000

100 — наименьшее трехзначное число. В натуральном ряду каждое следующее число на 1 отличается от предыдущего, поэтому за числом 100 следует число 101 — 100+1=101.

100

100 — наименьшее трехзначное число. В натуральном ряду каждое следующее число на 1 отличается от предыдущего, поэтому за числом 100 следует число 101 — 100+1=101.

Дальше

Проверить

Узнать результат

35 + 54 = 54 + 35

Это равенство неверно. Согласно правилам сложения и умножения натуральных чисел, сумма или произведение двух или нескольких чисел от изменения порядка слагаемых или множителей не меняется. При сложении натурального числа с нулем значение натурального числа не меняется, при умножении — произведение равно нулю.

(98 + 36) + 74 = 98 + (36 + 74)

Это равенство неверно. Согласно правилам сложения и умножения натуральных чисел, сумма или произведение двух или нескольких чисел от изменения порядка слагаемых или множителей не меняется. При сложении натурального числа с нулем значение натурального числа не меняется, при умножении — произведение равно нулю.

488 + 0 = 488 х 0

Это равенство неверно. Согласно правилам сложения и умножения натуральных чисел, сумма или произведение двух или нескольких чисел от изменения порядка слагаемых или множителей не меняется. При сложении натурального числа с нулем значение натурального числа не меняется, при умножении — произведение равно нулю.

39 + 0 = 0 +39

Это равенство неверно. Согласно правилам сложения и умножения натуральных чисел, сумма или произведение двух или нескольких чисел от изменения порядка слагаемых или множителей не меняется. При сложении натурального числа с нулем значение натурального числа не меняется, при умножении — произведение равно нулю.

Дальше

Проверить

Узнать результат

221 км

Решение:
1) 63 + 38 = 101 (км) преодолели туристы за первые два дня;
2) 284 – 101 = 183 (км). Туристам осталось преодолеть 183 км.

183 км

Решение:
1) 63 + 38 = 101 (км) преодолели туристы за первые два дня;
2) 284 – 101 = 183 (км). Туристам осталось преодолеть 183 км.

246 км

Решение:
1) 63 + 38 = 101 (км) преодолели туристы за первые два дня;
2) 284 – 101 = 183 (км). Туристам осталось преодолеть 183 км.

164 км

Решение:
1) 63 + 38 = 101 (км) преодолели туристы за первые два дня;
2) 284 – 101 = 183 (км). Туристам осталось преодолеть 183 км.

Дальше

Проверить

Узнать результат

5

Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и далее в порядке возрастания.

8045

Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и далее в порядке возрастания.

45

Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и далее в порядке возрастания.

678

Три первые цифры справа ‒ это класс единиц, три следующие — класс тысяч, затем класс миллионов, класс миллиардов и далее в порядке возрастания.

Дальше

Проверить

Узнать результат

1

Простыми считаются числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Числа, которые делятся более чем на эти 2 числа, называют составными. Единица, которая делится исключительно на саму себя, не относится ни к простым, ни к составным числам.

13

Простыми считаются числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Числа, которые делятся более чем на эти 2 числа, называют составными. Единица, которая делится исключительно на саму себя, не относится ни к простым, ни к составным числам.

6

Простыми считаются числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Числа, которые делятся более чем на эти 2 числа, называют составными. Единица, которая делится исключительно на саму себя, не относится ни к простым, ни к составным числам.

20

Простыми считаются числа, которые делятся только на 1 и на само себя. Числа, которые делятся более чем на эти 2 числа, называют составными. Единица, которая делится исключительно на саму себя, не относится ни к простым, ни к составным числам.

Дальше

Проверить

Узнать результат

Прочитайте статью еще раз и пройдите тест повторно.

Пройти еще раз

Прочитайте статью еще раз и пройдите тест повторно.

Пройти еще раз

Прочитайте статью еще раз и пройдите тест повторно.

Пройти еще раз

Вы хорошо разобрались в материале, но ошибки еще есть.

Пройти еще раз

Вы хорошо разобрались в материале, но ошибки еще есть.

Пройти еще раз

Вы изучили правило и умеете его применять.

Пройти еще раз

Фото на обложке: shutterstock.com

Что такое натуральные числа? Определение, свойства и примеры

Определение натуральных чисел

Натуральные числа — это все положительные целые числа от 1 до бесконечности. Их также называют счетными числами, так как они используются для подсчета предметов. Натуральные числа не включают 0 или отрицательные числа.

Числа нужны нам в повседневной жизни, будь то для подсчета предметов, определения времени или нумерации домов. Числа, которые помогают нам в подсчете и представлении величин, называются натуральными числами. К ним относятся 1, 2, 3, 4, 5, 6 и так далее до бесконечности.

Здесь мы видим, что 1 — наименьшее натуральное число и каждое последующее натуральное число ровно на единицу больше предыдущего. Таким образом, числа, стоящие между этими числами, не являются натуральными числами, такими как дроби, десятичные дроби и т. д. 

История натуральных чисел 

Предполагается, что натуральные числа произошли от слов, используемых для счета предметов, которые начинаются с единицы. Система разряда для числительных 1 (один) и 10 (десять) была впервые разработана вавилонянами.

Типы натуральных чисел

1. Нечетные натуральные числа

Нечетные натуральные числа — это положительные числа, которые не делятся на 2.

Например: 29, 677, 89901 и т. д.

Четные натуральные числа — это положительные числа, которые делятся на 2. 

Например: 28, 456, 6022 и т. д. 

Свойства натуральных чисел 

Вот некоторые важные свойства натуральных чисел.

• Замыкающее свойство
• Переместительное свойство
• Ассоциативное свойство
• Распределительное свойство

1. Замыкающее свойство сложения и умножения

При сложении или умножении всегда будет два натуральных числа.

• Примеры замыкания свойства сложения: 2 + 2 = 4, 3 + 4 = 7, 5 + 5 = 10 

В каждом случае результатом сложения натуральных чисел является натуральное число.

• Примеры свойства замыкания умножения: 2 × 2 = 4, 3 × 2 = 6, 5 × 5 = 25 

В каждом случае результатом умножения натуральных чисел является натуральное число.

Однако в случае деления и вычитания это свойство не выполняется. Вычитание или деление двух натуральных чисел не всегда дает натуральное число.

• Примеры вычитания: 4 – 6 = –2, 5 – 3 = 2, 6 – 9 = –3

Во втором случае получилось натуральное число, а в первом и третьем – нет.

• Примеры деления: 10 ÷ 3 = 3,33, 9 ÷ 3 = 3, 15 ÷ 4 = 3,75 

Первый и третий случаи не дали натуральных чисел.

2. Ассоциативное свойство сложения и умножения  

Сумма или произведение натуральных чисел остается неизменным даже при изменении группировки чисел. Однако это не относится к делению и вычитанию.

• Примеры ассоциативного свойства сложения: 2 + (5 + 6) = 13 и (2 + 5) + 6 = 13
• Примеры ассоциативного свойства умножения: 2 × (3 × 4) = 24 и (2 × 3) × 4 = 24 

Теперь рассмотрим природу вычитания и деления с учетом этого свойства.

• Примеры вычитания: 4 – (10 – 2) = –4 и (4 – 10) – 2 = –8
• Примеры деления: 5 ÷ (6 ÷ 3) = 2,5 и (5 ÷ 6) ÷ 3 = 0,27

3. Переместительное свойство сложения и умножения

Если мы изменим порядок натуральных чисел при умножении и сложении, результат не изменится.

Например,

• 6 + 5 = 11 и 5 + 6 = 11
• 2 × 4 = 8 и 4 × 2 = 8

Свойство коммутативности не применяется к вычитанию и делению натуральных чисел.

Примеры вычитания и деления:

• 5 – 3 = 2 и 3 – 5 = –2
• 6 ÷ 3 = 2 и 3 ÷ 6 = 0,5  

4. Распределительное свойство В соответствии с распределительным свойством 

умножения над сложением, если мы умножим сумму двух слагаемых на число или умножим каждое слагаемое по отдельности, а затем сложим их, результат будет таким же.

Пример: 2 × (5 + 3) = (2 x 5) + (2 x 3) = 16

Это свойство также верно в случае умножения вместо вычитания.

Пример: 2 x (5 – 3) = (2 x 5) – (2 x 3) = 4

Интересные факты

• Не существует наибольшего натурального числа.
• Просто прибавив 1 к текущему натуральному числу, вы получите еще одно натуральное число.
• Натуральные числа продолжаются вечно.

Решенные примеры

Давайте лучше поймем концепцию на этих примерах.

1. Выберите натуральные числа из следующего списка: 

             10, 6/2, 4,66, 22, 1564, –6 

Отв. Натуральными числами являются 10, 22 и 1564. Отрицательные числа, десятичные числа и дроби не считаются натуральными числами.

2. Перечислите первые десять натуральных чисел.

Ответ. Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10, так как натуральные числа начинаются с 1.  

3. В чем разница между любыми двумя последовательными натуральными числами?  

Ответ. Разница между любыми двумя последовательными натуральными числами всегда равна 1.

Практические задачи

1

Между какими двумя натуральными числами лежит дробь 18/3?

10 и 12

5 и 7

7 и 9

12 и 14

Правильный ответ: 5 и 7

2

Если m и m два натуральных числа, то:

m + n = n + m

m – n = n – m

m / n = n / m

Ничего из перечисленного

Правильный ответ: m + n = n + m
Поскольку свойство коммутативности гласит, что если мы изменим порядок натуральных чисел во время умножения и сложения, результат не изменится. Это свойство не распространяется на вычитание и деление.

3

Какое свойство натуральных чисел верно для 2 + (5 + 6) = 13 и (2 + 5) + 6 = 13?

ассоциативное свойство умножения

ассоциативное свойство вычитания

ассоциативное свойство сложения

замыкание свойство сложения

Правильный ответ: ассоциативное свойство сложения
Ассоциативность сложения выполняется для данной задачи. Свойство утверждает, что сумма натуральных чисел остается неизменной, даже если их группировка варьируется.

4

Какой из следующих примеров правильно устанавливает коммутативное свойство?

6 + 5 = 11 и 5 + 6 = 11

2 + (5 + 6) = 13 и (2 + 5) + 6 = 13

2 × (5 + 3) = (2 x 5) + (2 x 3) = 16

4 – 6 = –2

Правильный ответ: 6 + 5 = 11 и 5 + 6 = 11
Поскольку свойство коммутативности гласит, что изменение порядка натуральных чисел при умножении и сложении приведет к не изменить результат.

Часто задаваемые вопросы

Является ли ноль натуральным числом?

Нет. Ноль не является ни положительным, ни отрицательным. Поскольку натуральные числа включают в себя все положительные целые числа от 1 до бесконечности, ноль в набор не входит.

Являются ли натуральные числа целыми числами?

Все натуральные числа являются целыми числами, но все целые числа не считаются натуральными. 0 является исключением.

Почему натуральные числа так называются?

Натуральные числа используются для подсчета предметов наиболее естественным и инстинктивным способом. Если вы можете сосчитать их на пальцах, числа можно считать натуральными.

Заключение 

В этой статье мы узнали о натуральных числах и их различных свойствах. Узнайте больше о натуральных числах и других интересных математических терминах на SplashLearn, обучающей игровой платформе.

Связанный математический словарь: Целые числа, простые числа, составные числа.

Натуральные числа — определение, понятие, числовой ряд, примеры и часто задаваемые вопросы

Натуральные числа — это все положительные целые числа от 1 до бесконечности, являющиеся компонентом системы счисления. Натуральные числа — это только положительные целые числа, за исключением нуля, дробей, десятичных и отрицательных чисел, и они являются частью действительных чисел. Натуральные числа также называют счетными числами. Давайте узнаем больше о натуральных числах, их свойствах и примерах.

Что такое натуральные числа?

Натуральные числа или счетные числа — это целые числа, которые образуются от 1 до бесконечности. Числа можно найти повсюду, их можно использовать для подсчета предметов, представления денег или обмена ими, расчета температуры, определения времени и так далее. Эти числа называются «натуральными числами», поскольку они используются для подсчета предметов. При подсчете предметов это может быть 5 стаканов, 6 книг, 1 бутылка и так далее. Поэтому другое название натуральных чисел — счетные числа. Совокупность всех целых чисел, кроме 0, называется натуральными числами. Эти фигуры играют важную роль в повседневных действиях и общении.

Натуральные числа Определение 

Натуральные числа — это числа, которые можно посчитать и которые являются составной частью действительных чисел. В набор натуральных чисел входят только положительные целые числа, такие как 1, 2, 3, 4, 5, 6 и т. д. Натуральные числа начинаются с 1 и доходят до ∞.

Набор натуральных чисел

В математике набор натуральных чисел выражается как 1, 2, 3, … Набор натуральных чисел обозначается символом N. N = {1, 2, 3, 4, 5 , … ∞}. Один (1) — наименьшее натуральное число. Набор элементов называется набором (числа в данном контексте). Наименьший элемент в N равен 1, а следующий элемент с точки зрения 1 и N для любого элемента в N. 2 на 1 больше, чем 1, 3 на 1 больше, чем 2, и так далее. В приведенной ниже таблице объясняются различные формы множества натуральных чисел.

Set Form	Explanation
Statement Form	N = Set of numbers generating from 1.
Roaster Form	N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Форма построения набора	N = {x: x — натуральное число, начинающееся с 1}

Натуральные числа — это подмножество целых чисел, и целые числа являются подмножеством целых чисел. Точно так же целые числа являются подмножеством действительных чисел. Приведенная ниже диаграмма объясняет взаимосвязь w.r.t. наборы натуральных чисел, целых чисел, целых чисел и действительных чисел.

 

Примеры натуральных чисел

Неотрицательные целые числа также известны как натуральные числа (все положительные целые числа). 24, 57, 88, 979, 120502 и т. д. — лишь несколько примеров. Будет ли -4 натуральным числом? Нет. Поскольку это отрицательное целое число. Будет ли 3,6 натуральным числом? Нет. Поскольку это не целое число.

Натуральные четные числа

Четные натуральные числа — это четные числа, которые точно делятся на 2 и принадлежат множеству N. Таким образом, 2,4,6,8,… являются примерами четных натуральных чисел. Набор натуральных четных чисел представлен как {2, 4, 6, 8, 10, 12, …}.

Натуральные нечетные числа

Натуральные числа, являющиеся нечетными и принадлежащие множеству N, известны как нечетные натуральные числа, не делящиеся точно на 2. Итак, 1, 3, 5, 7, … являются примерами нечетных натуральных чисел. Набор натуральных нечетных чисел представлен как {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}.

Наименьшее натуральное число

1 известно как наименьшее натуральное число. Натуральные числа генерируются из 1 и заканчиваются на ∞. Хотя целые числа генерируются из 0, поэтому наименьшее целое число равно 0. 

Натуральные числа от 1 до 100

Натуральные числа являются частью целых чисел, натуральными или счетными числами от 1 до 100 являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.

Принадлежит ли 0 натуральным числам?

Часто задают вопрос, является ли 0 натуральным числом. Натуральные числа — это счетные числа. 0 не натуральное число. Так как подсчет начинается с 1 вместо 0 при подсчете любого количества предметов. Число 0 точно принадлежит целому числу. 0 также является частью целых чисел и представлен на числовой прямой. Однако даже на числовой прямой все, начиная с +1 и ее правой части, принадлежит к натуральным числам.

Натуральные числа и целые числа

Набор целых чисел идентичен набору натуральных чисел, за исключением того, что он включает 0 в качестве дополнительного числа. В математике множество целых чисел выражается как 0, 1, 2, 3,… Буква W обозначает это. Из определений ясно, что любое натуральное число является целым числом. Кроме того, все целые числа, кроме 0, являются натуральными числами. Ниже приведены представления наборов натуральных чисел и целых чисел в форме ростера,

W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

N = {1, 2, 3, 4, 5, …}

 

Разница между натуральными и целыми числами

Натуральные числа, такие как 1, 2, 3, 4 и т. д., являются положительными числами. Это числа, используемые для счета, и они продолжаются бесконечно. Целые числа, с другой стороны, являются натуральными числами, за исключением нуля, например, 1, 2, 3, 4 и так далее. Все целые числа и их отрицательные аналоги считаются целыми числами. -4, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4 и т. д. вот некоторые примеры. В таблице ниже объясняется разница между натуральными числами и целыми числами,

Натуральные номера	Целые числа
Номер 9029.	Все целые числа не являются натуральными числами.
Представление множества натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4, …}	Представление множества целых чисел W = {0, 1, 2, 3, …}

Натуральные числа в числовой строке

В числовой строке набор натуральных и целых чисел показан ниже. Натуральные числа представлены всеми положительными целыми числами или целыми числами справа от 0, тогда как целые числа представлены всеми положительными целыми числами плюс ноль. На приведенной ниже диаграмме показаны натуральные числа и целые числа на числовой прямой.

 

Первые 10 натуральных чисел

Первые 10 натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, и 10. В форме набора обжарщиков первые 10 натуральных чисел представлены как

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Свойства натуральных Числа

Свойства натуральных чисел были получены из свойств чисел. Четыре операции над натуральными числами — сложение, вычитание, умножение и деление — приводят к четырем основным характеристикам натуральных чисел, которые показаны ниже:

• Свойство замыкания
• Переместительное свойство
• Ассоциативное свойство
• Распределительное свойство

Замыкающее свойство

При сложении и умножении двух или более натуральных чисел всегда получается натуральное число. Свойство замыкания сложения равно a + b = c , т. е. 3 + 2 = 5, 9 + 8 = 17. Как видно из этого, сумма натуральных чисел всегда является натуральным числом. Свойство замыкания умножения: ab = c , т. е. 2 × 4 = 8, 7 × 8 = 56 и т. д. Это показывает, что натуральное число всегда является произведением двух натуральных чисел.

Примечание: Натуральные числа могут не подчиняться свойству замыкания, когда речь идет о вычитании и делении, что подразумевает, что вычитание или деление двух натуральных чисел может не дать натурального числа.

Ассоциативное свойство

При сложении и умножении натуральных целых чисел выполняется условие ассоциативности, т. е. a +(b + c) = (a + b) + c и a(b × c) = (a × b) c . Ассоциативное свойство сложения равно a + (b + c) = (a + b) + c , т.е. 1 + (3 + 5) = 1 + 8 = 9и тот же результат получается в (1 + 3) + 5 = 4 + 5 = 9. Ассоциативное свойство умножения равно a × (b × c) = (a × b) × c , т.е. 2 × (2 × 1) = 2 × 2 = 4, и тот же результат получается в (a × b) × c = (2 × 2) × 1 = 4 × 1 = 4. Кратко опишем обе части ассоциативного свойства натуральных чисел,

• Ассоциативное свойство сложения: a + (b + c) = (a + b) + c
• Ассоциативное свойство умножения: a × (b × c) = (a × b) × c

Примечание: Свойство ассоциативности, с другой стороны, не выполняется для вычитания и деления натуральных чисел.

Коммутативное свойство

Даже если изменить последовательность чисел, сумма или произведение двух натуральных чисел останется прежним. Коммутативность N говорит, что a + b = b + a и ab = ba для любых a, b ∈ N. Давайте посмотрим на коммутативность сложения и коммутативность умножения натуральных чисел,

• Переместительное свойство сложения: a + b = b + a ⇒ Пример: 4 + 5 = 9 и b + a = 5 + 4 = 9.
• Переместительное свойство умножения: a × b = b × a ⇒ Пример: 3 × 2 = 6 и 2 × 3 = 6.

Распределительное свойство

Распределительное свойство натуральных чисел имеет два типа: распределительный закон умножения над сложением и распределительный закон умножения над вычитанием. Если нам дано a (b + c), то a может быть распределено между b и c и становится (ab + ac). Точно так же a(b – c) может стать (ab – ac).

• Распределительный закон умножения на сложение: a(b + c) = ab + ac.
• Распределительный закон умножения над умножением: a(b – c) = ab – ac.

Решенные примеры с натуральными числами

Пример 1. Определите натуральные числа среди данных чисел:

23, 98, 0, -98, 12,7, 11/7, 3. 9005 Ответ :

Поскольку отрицательные числа, 0, десятичные дроби и дроби не являются частью натуральных чисел. Следовательно, 0, -98, 12,7 и 11/7 не являются натуральными числами.

Следовательно, натуральные числа равны 23, 98 и 3.

Пример 2. Докажите дистрибутивный закон умножения над сложением на примере.

Ответ:

Распределительный закон умножения над сложением гласит: a(b + c) = ab + ac.

Например, 4(10 + 20), здесь 4, 10 и 20 — все натуральные числа и, следовательно, должны подчиняться закону распределения. Следовательно,

4 (10 + 20) = 4 × 10 + 4 × 20

4 × 30 = 40 + 80

120 = 120

Следовательно, доказано.

Пример 3: Докажите распределительный закон умножения над вычитанием на примере.

Ответ:

Распределительный закон умножения над сложением гласит: a(b – c) = ab – ac.

Например, 7(3 – 6), здесь 7, 3 и 6 – все натуральные числа и, следовательно, должны подчиняться закону распределения. Следовательно,

7(3 – 6) = 7 × 3 – 7 × 6

7 × -3 = 21 + 42

-21 = -21

Следовательно, доказано.

Пример 4. Перечислите первые 10 натуральных чисел.

Ответ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 — первые десять натуральных чисел.

Пример 5: Определите ненатуральные числа среди данных чисел:

45, 9, 10, -8, 1,17, 98/3, 33/11.

Ответ:

Поскольку отрицательные числа, 0, десятичные дроби и дроби не являются частью натуральных чисел. Следовательно, -8, 1,17, 98/3 не натуральные числа. Обратите внимание, что 33/11 можно упростить до 3, а 3 — натуральное число.

Пример 6: Какова дисперсия первых 5 натуральных чисел?

Решение:

Формула для нахождения дисперсии первых n натуральных чисел: = (n ² – 1)/12

. )/12

= 24/12

= 2

Часто задаваемые вопросы о натуральных числах

Вопрос 1: Каждое натуральное число является целым числом. Правда или ложь?

Ответ:

Неверно. Каждое натуральное число не является целым числом, поскольку 0 присутствует в целых числах, но не в натуральных числах. Следовательно, утверждение неверно.

Вопрос 2: Запишите сумму первых 10 натуральных чисел.

Ответ:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 — первые десять натуральных чисел. Следовательно, сумма первых 10 натуральных чисел будет равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9.+ 10 = 55.

Вопрос 3. Является ли 0 натуральным числом?

Ответ:

Нет, 0 не является частью натуральных чисел. 0 является частью целых чисел, и в этом основное различие между целыми числами и натуральными числами.

Вопрос 4: Чему равна сумма первых n натуральных чисел?

Ответ:

Формула суммы первых n натуральных чисел:

S = n (n + 1)/2

Здесь n — количество терминов.

Вопрос 5: Чему равна сумма квадратов n натуральных чисел?

Ответ:

Формула суммы квадратов n натуральных чисел:

S = n(n + 1)(2n + 1)/6

наименьшее натуральное число?

Ответ: 

Наименьшее натуральное число равно 1.