Полуось: Что такое полуось в автомобиле (приводной вал)

Если e > 1, формула орбиты

(2.96) r = h3μ11 + ecosθ

описывает геометрию гиперболы, показанной на рис. 2.25. Система состоит из двух симметричных кривых. Один из них занимает вращающееся тело. Другой — пустой математический образ. Ясно, что знаменатель уравнения. (2.96) стремится к нулю, когда cos θ = — 1/ e . Обозначим это значение истинной аномалии как

Рис. 2.25. Гиперболическая траектория.

(2,97) θ∞ = cos − 1−1 / e

, поскольку радиальное расстояние приближается к бесконечности, когда истинная аномалия приближается к θ _∞ . θ _∞ известна как истинная аномалия асимптоты. Обратите внимание, что θ _∞ лежит между 90 и 180 градусами. Из тождества триггера sin ² θ _∞ + cos ² θ _∞ = 1 следует, что

(2,98) sinθ∞ = e2−1e

Для — θ _∞ < θ < θ _∞ , физическая траектория — это занятая гипербола I , показанная слева на рис.2.25. Для θ _∞ < θ <(360 ° - θ _∞ ), гипербола II , высвечивается свободная орбита вокруг пустого фокуса F ’. (Свободная орбита физически невозможна, потому что для этого потребуется сила отталкивания.) Периапсис P лежит на линии апсиды на физической гиперболе I , тогда как апоапсис A находится на линии апсиды на пустой орбите. Точка на полпути между перицентром и апоапсисом — это центр C гиперболы.Асимптоты гиперболы — это прямые линии, к которым кривые стремятся при приближении к бесконечности. Асимптоты пересекаются при ° C , образуя острый угол β с линией апсиды, где β = 180 ° — θ _∞ . Следовательно, cos β = −cos θ _∞ , что означает

(2,99) β = cos − 11 / e

Угол δ между асимптотами называется углом поворота. Это угол, на который поворачивается вектор скорости движущегося по орбите тела, когда он огибает притягивающее тело при F и направляется обратно к бесконечности.Из рисунка видно, что δ = 180 ° — 2 β , так что

sinδ2 = sin180∘ − 2β2 = sin90∘ − β = cosβ = ︷Eq.2.991e

Eq. (2.50) дает расстояние r _p от фокуса F до перицентра,

(2.101) rp = h3μ11 + e

Как и для эллипса, радиальная координата r апоапсиса можно найти, установив θ = 180 ° в уравнении. (2.45),

(2.102) ra = h3μ11 − e

Обратите внимание, что r _a отрицательно, так как e > 1 для гиперболы.Это означает, что апоапсис находится справа от фокуса F . Из рис. 2.25 мы видим, что расстояние 2 a от периапсиса P до апоапсиса A составляет

2a = ra − rp = −ra − rp

Подставляя уравнения. (2.101) и (2.102) дают

2a = −h3μ11 − e + 11 + e

Отсюда следует, что a , большая полуось гиперболы, дается выражением, которое почти идентично выражению для эллипс (уравнение 2.72),

(2.103) a = h3μ1e2−1

Следовательно, уравнение. (2.96) может быть записано для гиперболы

(2.104) r = ae2−11 + ecosθ

Эта формула аналогична уравнению. (2.72) для эллиптической орбиты. Кроме того, из уравнения. (2.104) следует, что

(2.105a) rp = ae − 1

(2.105b) ra = −ae + 1

Расстояние b от периапсиса до асимптоты, измеренное перпендикулярно линии апсиды, равно малая полуось гиперболы. Из рис. 2.25 видно, что длина b малой полуоси PM¯ составляет

b = atanβ = asinβcosβ = asin180 ° −θ∞cos180 ° −θ∞ = asinθ∞ − cosθ∞ = ae2−1e−− 1e

, так что для гиперболы

(2.106) b = ae2−1

Это соотношение аналогично уравнению. (2.76) для малой полуоси эллипса.

Расстояние Δ между асимптотой и параллельной линией, проходящей через фокус, называется радиусом прицеливания, что показано на рис. 2.25. Из этого рисунка видно, что

Δ = rp + asinβ = aesinβEq.2.105a = aee2−1eEq.2.99 = aesinθ∞Eq.2.98 = ae1 − cos2θ∞trig identity = ae1−1e2Eq.2.97

Сравнивая этот результат с уравнением . Из (2.106) ясно, что радиус прицеливания равен длине малой полуоси гиперболы.

Как и в случае с эллипсом и параболой, мы можем выразить полярную форму уравнения гиперболы в декартовой системе координат, начало которой в данном случае находится на полпути между двумя фокусами, как показано на рис. 2.26. Из рисунка видно, что

Рис. 2.26. Участок уравнения. (2.104) в декартовой системе координат с началом O на полпути между двумя фокусами.

(2.108a) x = −a − rp + rcosθ

(2.108b) y = rsinθ

Используя уравнения. (2.104) и (2.105a) в уравнении. (2.108a), получаем

x = −a − ae − 1 + ae2−11 + ecosθcosθ = −ae + cosθ1 + ecosθ

Подставляя уравнения. (2.104) и (2.106) в уравнение. (2.108b) дает

y = be2−1e2−11 + ecosθsinθ = be2−1sinθ1 + ecosθ

Отсюда следует, что

x2a2 − y2b2 = e + cosθ1 + ecosθ2 − e2−1sinθ1 + ecosθ2 = e2 + 2e −e2−11 − cos2θ1 + ecosθ2 = 1 + 2ecosθ + e2cos2θ1 + ecosθ2 = 1 + ecosθ21 + ecosθ2

То есть

(2.109) x2a2 − y2b2 = 1

Это знакомое уравнение симметричной гиперболы. относительно осей x и y с пересечениями по оси x .

Ур. (2.60) дает удельную энергию гиперболической траектории. Подставляя уравнение. (2.103) в это выражение дает

(2.110) ɛ = μ2a

Удельная энергия гиперболической орбиты явно положительна и не зависит от эксцентриситета. Сохранение энергии для гиперболической траектории составляет

(2,111) v22 − μr = μ2a

Пусть v _∞ обозначает скорость, с которой тело на гиперболическом пути достигает бесконечности. Согласно формуле. (2.111)

(2,112) v∞ = μa

v _∞ называется гиперболической избыточной скоростью. В терминах v _∞ мы можем записать уравнение. (2.111) как

v22 − μr = v∞22

Подставляя выражение для скорости убегания, vesc = 2μ / r (уравнение 2.91), получаем для гиперболической траектории

(2.113) v2 = vesc2 + v∞ 2

Это уравнение ясно показывает, что гиперболическая избыточная скорость v _∞ представляет собой избыточную кинетическую энергию по сравнению с той, которая требуется для простого выхода из центра притяжения.Квадрат v _∞ обозначается C ₃ и известен как характеристическая энергия,

(2,114) C3 = v∞2

C ₃ — мера энергии требуется для межпланетной миссии, и C ₃ также является мерой максимальной энергии, которую ракета-носитель может передать космическому кораблю данной массы. Очевидно, что для согласования ракеты-носителя с миссией, C ₃ ) _{Ракета-носитель} > C ₃ ) _миссия .

Обратите внимание, что гиперболическая избыточная скорость также может быть получена из уравнений. (2.49) и (2.98),

(2.115) v∞ = μhesinθ∞ = μhe2−1

Наконец, для сравнения, на рис. 2.27 показан диапазон траекторий от круга до гипербол, все из которых имеют общую фокус и перицентр. Парабола — это разграничение между закрытыми орбитами с отрицательной энергией (эллипсами) и открытыми орбитами с положительной энергией (гиперболами).

Рис. 2.27. Орбиты разного эксцентриситета, имеющие общий фокус F и перицентр P.

Здесь читатель может быть по понятным причинам ошеломлен количеством формул для кеплеровских орбит (конических сечений), которые были представлены до сих пор в этой главе. Как кратко изложено в «Дорожной карте» в Приложении B, существует лишь небольшой набор уравнений, из которых выводятся все остальные.

Вот «набор» единственных уравнений, необходимых для решения двумерных криволинейных орбитальных задач, не связанных со временем, что является предметом главы 3.

Все орбиты:

h = rv⊥Eq.2.31r = h3μ11 + ecosθEq.2.45vr = μhesinθEq.2.49tanγ = vrv⊥Eq.2.51v = vr2 + v⊥2

Эллипсы (0 ≤ e < 1):

a = rp + ra2 = h3μ11 − e2Eq.2.71v22 − μr = −μ2aEq.2.81T = 2πμa3 / 2Eq.2.83e = ra − rpra + rpEq.2.84

Parabolas ( e = 1) :

v22 − μr = 0Eq.2.90

Гиперболы ( e > 1):

θ∞ = cos − 1−1eEq.2.97δ = 2sin − 11eEq.2.100a = h3μ1e2−1Eq.2.103Δ = ae2 −1Eq.2.107v22 − μr = μ2aEq.2.111

Обратите внимание, что мы можем переписать уравнения(2.103) и (2.111) следующим образом (где a положительно),

−a = h3μ11 − e2v22 − μr = −μ2 − a

То есть, если мы предположим, что большая полуось гиперболы имеет отрицательное значение, то формула большой полуоси и уравнение vis viva становятся идентичными для эллипсов и гипербол. На этом этапе нет никаких преимуществ в том, чтобы требовать, чтобы гиперболы имели отрицательные большие полуоси. Однако это необходимо для того, чтобы формулировка универсальной переменной была представлена ​​в следующей главе.

Пример 2.10

В данной точке геоцентрической траектории космического корабля радиус составляет 14 600 км, скорость — 8,6 км / с, угол полета — 50 °. Покажите, что путь представляет собой гиперболу, и вычислите следующее:

(a)

угловой момент

(b)

эксцентриситет

(c)

истинная аномалия

(d)

радиус перигея

(e)

Большая полуось

(f)

C ₃

(g)

угол поворота

1

1 9079

радиус прицеливания

Рис. 2.28. Решение примера 2.10.

Решение

Поскольку заданы и радиус, и скорость, мы можем определить тип траектории, сравнив скорость со скоростью ухода (параболической траектории) на заданном радиусе:

vesc = 2μr = 2⋅398 , 60014,600 = 7,389 км / с

Скорость убегания меньше скорости космического корабля 8,6 км / с, что означает, что путь представляет собой гиперболу.

(a)

Прежде чем приступить к поиску необходимых орбитальных данных, помните, что все зависит от основных параметров орбиты, углового момента h и эксцентриситета e .Они входят в список из пяти неизвестных для этой проблемы: h , e , θ , v _r и v _⊥ . Из «набора инструментов» у нас есть пять уравнений, включающих эти пять величин и заданные данные:

(a) r = h3μ11 + ecosθ

(b) vr = μhesinθ

(c) v⊥ = hr

(d) v = vr2 + v⊥2

(e) tanγ = vrv⊥

Из уравнения. (e)

(f) vr = v⊥tan50∘ = 1,1918v⊥

Подставляя это и заданную скорость в уравнение.(г) дает

(г) 8,62 = 1,11918v⊥2 + v⊥2⇒v⊥ = 5,528 км / с

Теперь угловой момент можно найти из уравнения. (c),

h = 14,600⋅5,528 = 80,708 км2 / с

(b)

Подставляя v _⊥ в уравнение. (f) мы получаем компонент лучевой скорости,

vr = 1,1918⋅5,528 = 6,588 км / с

Подставляя h и v _r в уравнение. (b) дает выражение, включающее эксцентриситет и истинную аномалию,

(h) 6.588 = 398,60080,708esinθ⇒esinθ = 1,3339

Аналогичным образом, подставляя h и r в уравнение. (а) находим

(i) 14,600 = 80,7082398,60011 + ecosθ⇒ecosθ = 0,1193

. (h) и (i), а затем суммируя их, мы получаем эксцентриситет,

e2sin2θ + cos2θ︷ = 1 = 1,7936

e = 1,3393

(c)

Чтобы найти истинную аномалию, подставьте значение и в формулу. (i),

1,3393 cosθ = 0,1193⇒θ = 84,889 ° или θ = 275.11 °

Мы выбираем меньший из углов, потому что уравнения. (h) и (i) подразумевают, что и sin θ , и cos θ положительны, что означает, что θ лежит в первом квадранте ( θ ≤ 90 °). В качестве альтернативы мы можем отметить, что данный угол траектории полета (50 °) положительный, что означает, что космический аппарат летит от перигея, так что истинная аномалия должна быть меньше 180 °. В любом случае истинная аномалия определяется как θ = 84,889 °.

(d)

Радиус перигея теперь может быть найден из уравнения орбиты (Ур.a)

rp = h3μ11 + ecos0 = 80,7102398,60011 + 1,339 = 6986 км

(e)

Большая полуось гиперболы находится в уравнении. (2.103),

a = h3μ1e2−1 = 80,7102398,60011.3392−1 = 20,590 км

(f)

Гиперболическая избыточная скорость находится с помощью уравнения. (2.113),

v∞2 = v2 − vesc2 = 8,62−7,3892 = 19,36 км2 / с2

Из уравнения. (2.114) следует, что

C3 = 19,36 км2 / с2

(g)

Формула для угла поворота имеет следующий вид:(2.100), откуда

δ = 2sin − 11e = 2sin − 111,339 = 96,60∘

(h)

Согласно уравнению. (2.107), радиус прицеливания составляет

Δ = ae2−1 = 20,5901,3392−1 = 18,340 км

13,5 Законы движения планет Кеплера

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Опишите конические сечения и их отношение к орбитальному движению
• Опишите, как орбитальная скорость связана с сохранением углового момента
• Определите период эллиптической орбиты от ее большой оси

Используя точные данные, собранные Тихо Браге, Иоганн Кеплер тщательно проанализировал положения на небе всех известных планет и Луны, обозначив их положения через равные промежутки времени.На основе этого анализа он сформулировал три закона, которые мы рассматриваем в этом разделе.

Первый закон Кеплера

Во времена Кеплера преобладала точка зрения, что все планетные орбиты были круговыми. Данные о Марсе представляли собой величайшую проблему для этой точки зрения, и это в конечном итоге побудило Кеплера отказаться от популярной идеи. Первый закон Кеплера гласит, что каждая планета движется по эллипсу, причем Солнце находится в фокусе эллипса. Эллипс определяется как набор всех точек, так что сумма расстояний от каждой точки до двух фокусов является постоянной.(Рисунок) показывает эллипс и описывает простой способ его создания.

Рисунок 13.16 (a) Эллипс — это кривая, на которой сумма расстояний от точки кривой до двух фокусов [латекс] ({f} _ {1} \, \ text {и} \, { f} _ {2}) [/ latex] — это константа. Из этого определения вы можете видеть, что эллипс можно создать следующим образом. Поместите булавку в каждый фокус, затем оберните петлю вокруг карандаша и булавок. Удерживая натянутую струну, перемещайте карандаш по полному кругу.Если два фокуса занимают одно и то же место, результатом будет круг — частный случай эллипса. (b) Для эллиптической орбиты, если [латекс] m \ ll M [/ latex], то m следует по эллиптическому пути с M в одном фокусе. Точнее, и m, и M движутся по собственному эллипсу вокруг общего центра масс.

Для эллиптических орбит точка наибольшего сближения планеты с Солнцем называется перигелием . На рисунке она обозначена точкой A . Самая дальней точка — это афелий , обозначенная на рисунке точкой B .Для орбиты Луны вокруг Земли эти точки называются перигеем и апогеем соответственно.

Эллипс имеет несколько математических форм, но все они являются частным случаем более общего уравнения для конических сечений. Есть четыре различных конических сечения, все из которых задаются уравнением

[латекс] \ frac {\ alpha} {r} = 1 + e \ text {cos} \ theta. [/ латекс]

Переменные r и [latex] \ theta [/ latex] показаны на (Рисунок) в случае эллипса. Константы [latex] \ alpha [/ latex] и e определяются полной энергией и угловым моментом спутника в данной точке.Константа e называется эксцентриситетом. Значения [latex] \ alpha [/ latex] и e определяют, какая из четырех конических секций представляет путь спутника.

Рисунок 13.17 Как и раньше, расстояние между планетой и Солнцем равно r, а угол, отсчитываемый от оси x, которая проходит вдоль большой оси эллипса, равен [latex] \ theta [/ latex].

Один из настоящих триумфов закона всемирного тяготения Ньютона, сила которого пропорциональна квадрату расстояния, обратному квадрату расстояния, заключается в том, что в сочетании с его вторым законом решение для пути любого спутника представляет собой коническое сечение.Каждый путь, пройденный м , является одним из четырех конических участков: круг или эллипс для ограниченных или замкнутых орбит, парабола или гипербола для неограниченных или открытых орбит. Эти конические сечения показаны на (Рисунок).

Рисунок 13.18 Любое движение, вызванное силой, обратной квадрату, является одним из четырех конических сечений и определяется энергией и направлением движущегося тела.

Если полная энергия отрицательная, то [латекс] 0 \ le e <1 [/ latex], а (Рисунок) представляет собой ограниченную или замкнутую орбиту эллипса или круга, где [latex] e = 0 [/ латекс].[Из (Рисунок) видно, что для [latex] e = 0 [/ latex], [latex] r = \ alpha [/ latex], и, следовательно, радиус постоянен.] Для эллипсов эксцентриситет связан с тем, как появится продолговатый эллипс. Круг имеет нулевой эксцентриситет, тогда как очень длинный вытянутый эллипс имеет эксцентриситет около единицы.

Если полная энергия точно равна нулю, то [латекс] e = 1 [/ latex] и путь представляет собой параболу. Напомним, что спутник с нулевой полной энергией имеет именно убегающую скорость. (Парабола образуется только путем разрезания конуса параллельно касательной вдоль поверхности.) Наконец, если полная энергия положительна, то [latex] e> 1 [/ latex] и путь представляет собой гиперболу. Эти последние два пути представляют собой неограниченные орбиты, где m проходит мимо M один раз и только один раз. Эта ситуация наблюдалась для нескольких комет, которые приближаются к Солнцу, а затем уходят прочь, чтобы никогда не вернуться.

Мы ограничились случаем, когда меньшая масса (планета) вращается вокруг гораздо большей и, следовательно, стационарной массы (Солнца), но (рисунок) также применяется к любым двум гравитационно взаимодействующим массам.Каждая масса образует коническое сечение той же формы, что и другая. Эта форма определяется полной энергией и угловым моментом системы, при этом центр масс системы находится в фокусе. Отношение размеров двух путей обратно отношению их масс.

Орбитальные переводы

С тех пор, как они были открыты, люди мечтали о путешествии к другим планетам нашей солнечной системы. Но как мы можем это сделать лучше всего? Самый эффективный метод был открыт в 1925 году Вальтером Хоманном, вдохновленным популярным научно-фантастическим романом того времени.Теперь этот метод называется перенос Хомана . В случае путешествия между двумя круговыми орбитами перемещение происходит по эллипсу «перехода», который идеально пересекает эти орбиты в афелии и перигелии эллипса. (Рисунок) показывает случай полета с орбиты Земли на орбиту Марса. Как и раньше, Солнце находится в фокусе эллипса.

Для любого эллипса большая полуось определяется как половина суммы перигелия и афелия. На (Рисунок) большая полуось — это расстояние от начала координат до обеих сторон эллипса по оси x , или только половина самой длинной оси (называемой большой осью).Следовательно, для перемещения с одной круговой орбиты с радиусом [латекс] {r} _ {1} [/ latex] на другую круговую орбиту с радиусом [латекс] {r} _ {2} [/ latex] афелий переноса эллипс будет равен значению большей орбиты, а перигелий — меньшей орбите. Большая полуось, обозначенная a , поэтому определяется как [latex] a = \ frac {1} {2} ({r} _ {1} + {r} _ {2}) [/ latex].

Рис. 13.19 У переносного эллипса есть перигелий на орбите Земли и афелий на орбите Марса.

Давайте возьмем случай путешествия с Земли на Марс. На данный момент мы игнорируем планеты и предполагаем, что мы одни на орбите Земли и хотим перейти на орбиту Марса. Из (Рисунок) выражения для полной энергии мы можем видеть, что полная энергия для космического корабля на большей орбите (Марс) больше (менее отрицательно), чем для меньшей орбиты (Земля). Чтобы перейти на эллипс перехода с орбиты Земли, нам нужно будет увеличить нашу кинетическую энергию, то есть нам потребуется увеличение скорости.Самый эффективный метод — это очень быстрое ускорение по круговой орбитальной траектории, которая также проходит по траектории эллипса в этой точке. (Фактически, ускорение должно быть мгновенным, чтобы круговая и эллиптическая орбиты совпадали во время ускорения. На практике конечное ускорение достаточно короткое, чтобы разница не принималась во внимание.) Как только вы вышли на орбиту Марса, вам понадобится еще один прирост скорости, чтобы перейти на эту орбиту, иначе вы останетесь на эллиптической орбите и просто вернетесь в перигелий, с которого начали.Для обратного пути вы просто выполняете обратный процесс с ретро-ускорением в каждой точке пересадки.

Чтобы перейти на эллипс переноса, а затем снова выключиться, нам нужно знать каждую круговую орбитальную скорость и скорости переходной орбиты в перигелии и афелии. Требуемый прирост скорости — это просто разница между скоростью на круговой орбите и скоростью на эллиптической орбите в каждой точке. Мы можем найти круговые орбитальные скорости из (Рисунок). Чтобы определить скорости для эллипса, мы заявляем без доказательства (поскольку это выходит за рамки этого курса), что полная энергия для эллиптической орбиты составляет

[латекс] E = — \ frac {Gm {M} _ {\ text {S}}} {2a} [/ латекс]

, где [latex] {M} _ {\ text {S}} [/ latex] — масса Солнца, а a — большая полуось.Примечательно, что это то же самое, что (рисунок) для круговых орбит, но со значением большой полуоси, заменяющим радиус орбиты. Поскольку мы знаем потенциальную энергию из (Рисунок), мы можем найти кинетическую энергию и, следовательно, скорость, необходимую для каждой точки эллипса. Мы оставляем задачу найти эти скорости переноса для полета с Земли на Марс.

Мы заканчиваем это обсуждение указанием на несколько важных деталей. Во-первых, мы не учли гравитационную потенциальную энергию Земли и Марса или механику приземления на Марс.На практике это должно быть частью расчетов. Во-вторых, время решает все. Вы же не хотите прибыть на орбиту Марса и обнаружить, что его там нет. Мы должны покинуть Землю в точно правильное время, чтобы Марс оказался в афелии нашего переносного эллипса, как только мы прибудем. Такая возможность появляется каждые 2 года. И возвращение также требует правильного времени. Общая поездка займет чуть менее 3 лет! Есть и другие варианты, которые обеспечивают более быстрый транзит, в том числе облет Венеры с помощью гравитации.Но эти другие варианты сопряжены с дополнительными затратами энергии и опасны для космонавтов.

Второй закон Кеплера

Второй закон Кеплера гласит, что планета сметает равные площади за равное время, то есть площадь, разделенная во времени, называемая пространственной скоростью, постоянна. Рассмотрим (рисунок). Время, необходимое планете, чтобы переместиться из позиции A в B , выметая область [латекс] {A} _ {1} [/ latex], — это как раз время, необходимое для перемещения из позиции C в . D , подметание [латекс] {A} _ {2} [/ латекс], и переход от E к F , подметание [латекс] {A} _ {3} [/ латекс].Эти области одинаковы: [латекс] {A} _ {1} = {A} _ {2} = {A} _ {3} [/ latex].

Рисунок 13.20 Показанные заштрихованные области имеют равные площади и представляют один и тот же временной интервал.

Сравнивая площади на рисунке и расстояние, пройденное по эллипсу в каждом случае, мы видим, что для того, чтобы площади были равными, планета должна ускоряться по мере приближения к Солнцу и замедляться по мере удаления. . Такое поведение полностью соответствует нашему уравнению сохранения (рисунок).Но мы покажем, что второй закон Кеплера на самом деле является следствием сохранения углового момента, которое справедливо для любой системы, имеющей только радиальные силы.

Вспомните определение углового момента из Angular Momentum, [latex] \ overset {\ to} {L} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} [/ latex ]. В случае орбитального движения [latex] \ overset {\ to} {L} [/ latex] — это угловой момент планеты относительно Солнца, [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] — вектор положения планеты, отсчитываемый от Солнца, а [latex] \ overset {\ to} {p} = m \ overset {\ to} {v} [/ latex] — мгновенный линейный импульс в любой точке орбита.Поскольку планета движется по эллипсу, [latex] \ overset {\ to} {p} [/ latex] всегда касается эллипса.

Мы можем разделить импульс на две составляющие: радиальную составляющую [латекс] {\ overset {\ to} {p}} _ {\ text {rad}} [/ latex] вдоль линии к Солнцу и составляющую [латекс] {\ overset {\ to} {p}} _ {\ text {perp}} [/ latex] перпендикулярно [латексу] \ overset {\ to} {r} [/ latex]. Перекрестное произведение для углового момента может быть записано как

[латекс] \ overset {\ to} {L} = \ overset {\ to} {r} \, × \, \ overset {\ to} {p} = \ overset {\ to} {r} \, × \, ({\ overset {\ to} {p}} _ {\ text {rad}} + {\ overset {\ to} {p}} _ {\ text {perp}}) = \ overset {\ to} {r} \, × \, {\ overset {\ to} {p}} _ {\ text {rad}} + \ overset {\ to} {r} \, × \, {\ overset {\ to} { p}} _ {\ text {perp}} [/ latex].

Первый член справа равен нулю, потому что [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] параллельно [latex] {\ overset {\ to} {p}} _ {\ text {rad} } [/ latex], а во втором члене [latex] \ overset {\ to} {r} [/ latex] перпендикулярно [latex] {\ overset {\ to} {p}} _ {\ text {perp }} [/ latex], поэтому величина перекрестного произведения уменьшается до [latex] L = r {p} _ {\ text {perp}} = rm {v} _ {\ text {perp}} [/ latex] . Обратите внимание, что угловой момент , а не зависит от [latex] {p} _ {\ text {rad}} [/ latex].Поскольку сила тяжести действует только в радиальном направлении, она может изменяться только [латекс] {p} _ {\ text {rad}} [/ latex], но не [латекс] {p} _ {\ text {perp}} [ /латекс]; следовательно, угловой момент должен оставаться постоянным.

Теперь рассмотрим (рисунок). Небольшая треугольная область [латекс] \ text {Δ} A [/ latex] выметается во времени [латекс] \ text {Δ} t [/ latex]. Скорость идет вдоль пути и составляет угол [латекс] \ тета [/ латекс] с радиальным направлением. Следовательно, перпендикулярная скорость определяется как [латекс] {v} _ {\ text {perp}} = v \ text {sin} \ theta [/ latex].Планета перемещается на расстояние [latex] \ text {Δ} s = v \ text {Δ} t \ text {sin} \ theta [/ latex] в направлении, перпендикулярном r . Так как площадь треугольника равна половине основания ( r ), умноженной на высоту [латекс] (\ text {Δ} s) [/ latex], для небольшого смещения площадь задается как [латекс] \ текст {Δ} A = \ frac {1} {2} r \ text {Δ} s [/ latex]. Подставляя вместо [latex] \ text {Δ} s [/ latex], умножая на m в числителе и знаменателе и переставляя, получаем

[латекс] \ text {Δ} A = \ frac {1} {2} r \ text {Δ} s = \ frac {1} {2} r (v \ text {Δ} t \ text {sin} \ theta) = \ frac {1} {2m} r (mv \ text {sin} \ theta \ text {Δ} t) = \ frac {1} {2m} r (m {v} _ {\ text {perp} } \ text {Δ} t) = \ frac {L} {2m} \ text {Δ} t.[/ латекс]

Рисунок 13.21 Элемент области [latex] \ text {Δ} A [/ latex] выметался во времени [latex] \ text {Δ} t [/ latex], когда планета движется под углом [latex] \ text {Δ} \ varphi [/ латекс]. Угол между радиальным направлением и [латексом] \ overset {\ to} {v} [/ latex] равен [latex] \ theta [/ latex].

Площадная скорость — это просто скорость изменения площади во времени, поэтому мы имеем

[латекс] \ text {поверхностная скорость} = \, \ frac {\ text {Δ} A} {\ text {Δ} t} = \ frac {L} {2m}.[/ латекс]

Так как угловой момент постоянен, то и плоская скорость также должна быть постоянной. Это в точности второй закон Кеплера. Как и первый закон Кеплера, Ньютон показал, что это естественное следствие его закона всемирного тяготения.

Третий закон Кеплера

Третий закон Кеплера гласит, что квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси орбиты. В работе «Спутниковые орбиты и энергия» мы вывели третий закон Кеплера для частного случая круговой орбиты.{3} [/ латекс]

Мы изменили массу Земли на более общую M , поскольку это уравнение применимо к спутникам, вращающимся вокруг любой большой массы.

Пример

Орбита кометы Галлея

Определите большую полуось орбиты кометы Галлея, учитывая, что она достигает перигелия каждые 75,3 года. Если перигелий составляет 0,586 а.е., что такое афелий?

Стратегия

Нам дан период, поэтому мы можем переставить (рисунок), решив для большой полуоси.{12} \, \ text {m} [/ latex] или 17,8 а.е. для большой полуоси.

Большая полуось составляет половину суммы афелия и перигелия, поэтому мы имеем

[латекс] \ begin {array} {} \\ \ hfill a & = \ hfill & \ frac {1} {2} (\ text {aphelion} + \ text {perihelion}) \ hfill \\ \ hfill \ text { aphelion} & = \ hfill & 2a- \ text {перигелий}. \ hfill \ end {array} [/ latex]

Подставляя значения, которые мы нашли для большой полуоси, и значение, данное для перигелия, мы находим значение афелия равным 35.0 AU.

Значение

Эдмонд Галлей , современник Ньютона, сначала подозревал, что три кометы, о которых сообщалось в 1531, 1607 и 1682 годах, на самом деле были одной и той же кометой. До того, как Тихо Браге провел измерения комет, считалось, что это разовые события, возможно, возмущения в атмосфере, и что на них не влияет Солнце. Галлей использовал новую механику Ньютона, чтобы предсказать возвращение своей одноименной кометы в 1758 году.

Проверьте свое понимание

Почти круговая орбита Сатурна имеет средний радиус около 9.5 а.е. и имеет период 30 лет, тогда как Уран в среднем составляет около 19 а.е. и имеет период 84 года. Согласуется ли это с нашими результатами для кометы Галлея?

Большая полуось для высокоэллиптической орбиты кометы Галлея составляет 17,8 а.е. и является средним значением перигелия и афелия. Это находится между радиусами орбиты Сатурна и Урана 9,5 и 19 а.е. соответственно. Радиус круговой орбиты такой же, как и у большой полуоси, и, поскольку период увеличивается с увеличением большой полуоси, ожидается, что период Галлея находится между периодами Сатурна и Урана.

Сводка

• Все орбитальные движения соответствуют траектории конической секции. Связанные или замкнутые орбиты представляют собой круг или эллипс; неограниченные или открытые орбиты — это либо парабола, либо гипербола.
• Поверхностная скорость любой орбиты постоянна, что является отражением сохранения углового момента.
• Квадрат периода эллиптической орбиты пропорционален кубу большой полуоси этой орбиты.

Концептуальные вопросы

Являются ли законы Кеплера чисто описательными или они содержат причинно-следственную связь?

На приведенной ниже диаграмме для спутника на эллиптической орбите с гораздо большей массой укажите, где его скорость наибольшая, а где наименьшая.Какой закон сохранения диктует такое поведение? Укажите направления силы, ускорения и скорости в этих точках. Нарисуйте векторы для тех же трех величин в двух точках, где пересекаются оси y (вдоль малой полуоси), и на основании этого определите, увеличивается ли скорость с уменьшением или с максимальным / минимальным значением.

Скорость наибольшая, когда спутник находится ближе всего к большой массе, и наименьшая, где дальше — в периапсисе и апоапсисе, соответственно.Этой зависимостью управляет сохранение углового момента. Но это также можно понять из закона сохранения энергии: кинетическая энергия должна быть наибольшей там, где гравитационная потенциальная энергия наименьшая (наиболее отрицательная). Сила и, следовательно, ускорение всегда направлены к M на диаграмме, а скорость всегда касается пути во всех точках. Вектор ускорения имеет тангенциальную составляющую вдоль направления скорости в верхнем положении на оси y; следовательно, спутник набирает скорость.{30} \, \ text {кг} [/ латекс]; Значения такие же в пределах 0,05%.

Ио вращается вокруг Юпитера со средним радиусом 421 700 км и периодом 1769 дней. Исходя из этих данных, какова масса Юпитера?

«Средний» радиус орбиты, указанный для астрономических объектов, вращающихся вокруг Солнца, обычно не является интегрированным средним значением, а рассчитывается таким образом, чтобы он давал правильный период при применении к уравнению для круговых орбит. Учитывая это, каков средний радиус орбиты с точки зрения афелия и перигелия?

Сравните (рисунок) и (рисунок), чтобы увидеть, что они отличаются только тем, что радиус окружности r заменен большой полуосью a .{11} \, \ text {m} [/ latex])? ( Подсказка: Вы можете использовать закон сохранения энергии или углового момента, но последнее намного проще.)

Перигелий кометы Лагерквист составляет 2,61 а.е. с периодом 7,36 года. Покажите, что афелий этой кометы составляет 4,95 а.е.

Большая полуось 3,78 а.е. находится из уравнения для периода. Это половина суммы афелия и перигелия, что дает афелийное расстояние 4,95 а.е.

Каково отношение скорости в перигелии к скорости в афелии у кометы Лагерквист в предыдущей задаче?

У Эроса эллиптическая орбита вокруг Солнца с расстоянием в перигелии, равным 1.13 а.е. и афелийное расстояние 1,78 а.е. Каков период его обращения?

Глоссарий

афелий

самая удаленная от Солнца точка вращающегося тела; соответствующий термин для самой дальней точки Луны от Земли — апогей

Первый закон Кеплера

Закон

, гласящий, что каждая планета движется по эллипсу, при этом Солнце находится в фокусе эллипса

Второй закон Кеплера

Закон, гласящий, что планета сметает равные площади в равное время, что означает, что она имеет постоянную пространственную скорость

Третий закон Кеплера

Закон о том, что квадрат периода пропорционален кубу большой полуоси орбиты

перигелий

точка наибольшего сближения орбитального тела с Солнцем; соответствующий термин для наиболее близкого приближения Луны к Земле — перигей

Calculus — Расчет полуосей по заданному уравнению наклонного эллипса

Надеюсь, нет дубликата эллипса. 2 — 11x — y = 18 $$.2) $ и $ D = 18 $.

Матрица $$ \ left (\ begin {matrix} A — \ lambda & \ frac {B} {2} \\ \ frac {B} {2} & C — \ lambda \ end {matrix} \ right) = \ left (\ begin {matrix} 1 — \ lambda & — \ frac {1} {4} \\ — \ frac {1} {4} & 1 — \ lambda \ end {matrix} \ right) $$ дает собственные значения $ \ lambda_ {1,2} = 1 \ pm \ frac {1} {4} $ и соответствующую матрицу собственных векторов $$ \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left (\ begin {matrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \ end {matrix} \ right) $

Из изображения выше очевидно, что векторы указывают в правильном направлении.Но, пытаясь вычислить их длину, я никогда не получаю правильного результата. Я где-то читал, что абсолютное значение в уравнении ($ D $) нужно как-то нормализовать, а собственные значения не имеют правильной пропорции, поэтому я взял их корень. Это приводит к длине $$ l_1 = 2 * \ sqrt {\ lambda_1} * \ sqrt {D} = 2 * \ sqrt {\ frac {5} {4}} * \ sqrt {18} \ приблизительно 9,48 \ neq 9,24 $$ $$ l_2 = 2 * \ sqrt {\ lambda_2} * \ sqrt {D} = 2 * \ sqrt {\ frac {3} {4}} * \ sqrt {18} \ приблизительно 7.34 \ neq 7.16 $$ которые не дают правильного результата при печати (красные точки были основой уравнения):

Для других эллипсов ошибка намного больше.Кто-нибудь может указать, где я ошибаюсь в расчетах?

Что касается связанного выше потока (который отвечает на вопрос для другого примера), описанный там метод не работает для меня (возможно, я применяю его неправильно):

$$ \ sqrt {\ frac {35} {\ lambda_2}} = \ sqrt {\ frac {35} {1 — \ frac {1} {4}}} \ приблизительно 6,83 \ neq 9,24 $$

Большая полуось | Space Wiki

Большая полуось эллипса

В геометрии термин большая полуось (также большая полуось ) используется для описания размеров эллипсов и гипербол.

Эллипс

Большая ось эллипса — это его самый длинный диаметр, линия, проходящая через центр и оба фокуса, причем ее концы находятся в самых широких точках формы. Большая полуось представляет собой половину большой оси и, таким образом, проходит от центра через фокус к краю эллипса.

Это связано с малой полуосью через эксцентриситет и полу-латус прямой кишки следующим образом:

.

.

Парабола может быть получена как предел последовательности эллипсов, в которой один фокус остается фиксированным, а другому разрешено перемещаться произвольно далеко в одном направлении, сохраняя фиксированный.Таким образом и стремятся к бесконечности, быстрее чем.

Большая полуось — это среднее значение наименьшего и наибольшего расстояний от одного фокуса до точек эллипса. Теперь рассмотрим уравнение в полярных координатах с одним фокусом в начале координат, а другой — на положительной оси x ,

Среднее значение и, равно.

Гипербола

Большая полуось гиперболы составляет половину расстояния между двумя ветвями; если это a в направлении x, уравнение будет следующим:

С точки зрения полу-латуса прямой кишки и эксцентриситета мы имеем

Астрономия

Период обращения

В астродинамике период обращения небольшого тела, вращающегося вокруг центрального тела по круговой или эллиптической орбите, равен:

где:

— длина большой полуоси орбиты

— стандартный гравитационный параметр

Обратите внимание, что для всех эллипсов с заданной большой полуосью период обращения один и тот же, независимо от эксцентриситета.

В астрономии большая полуось является одним из наиболее важных орбитальных элементов орбиты, наряду с ее периодом обращения. Для объектов Солнечной системы большая полуось связана с периодом орбиты третьим законом Кеплера (первоначально полученным эмпирическим путем),

, где T — период в годах, а a — большая полуось в астрономических единицах. Эта форма оказывается упрощением общей формы задачи двух тел, определенной Ньютоном:

где G — гравитационная постоянная, M — масса центрального тела, а м — масса движущегося по орбите тела.Обычно масса центрального тела настолько больше, чем масса вращающегося тела, что m можно не принимать во внимание. Сделав это предположение и используя типичные астрономические единицы, мы получили более простую форму, которую открыл Кеплер.

Примечательно, что путь движущегося по орбите тела вокруг центра масс и его путь относительно его первичного элемента являются эллипсами. Большая полуось , используемая в астрономии, всегда является расстоянием от первичной до вторичной; таким образом, орбитальные параметры планет даны в гелиоцентрических терминах.Разницу между примоцентрическими и «абсолютными» орбитами лучше всего можно проиллюстрировать, взглянув на систему Земля-Луна. Соотношение масс в данном случае составляет 81,30059. Характерное расстояние Земля-Луна, большая полуось геоцентрической лунной орбиты , составляет 384 400 км. С другой стороны, барицентрическая лунная орбита имеет большую полуось 379 700 км, а обратная орбита Земли занимает разницу в 4700 км. Средняя барицентрическая орбитальная скорость Луны составляет 1,010 км / с, а у Земли — 0.012 км / с. Сумма этих скоростей дает геоцентрическую среднюю орбитальную скорость Луны 1,022 км / с; такое же значение можно получить, рассматривая только значение большой геоцентрической полуоси.

Среднее расстояние

Часто говорят, что большая полуось — это «среднее» расстояние между главными объектами (фокусом эллипса) и орбитальным телом. Это не совсем точно, так как это зависит от среднего значения.

• , усредняя расстояние по эксцентрической аномалии (q.v.) действительно приводит к большой полуоси.
Усреднение
• по истинной аномалии (истинный орбитальный угол, измеренный в фокусе), как ни странно, приводит к малой полуоси.
• усреднение по средней аномалии (доля орбитального периода, прошедшего с момента перицентра, выраженная в виде угла), наконец, дает среднее значение по времени (что обычно означает «среднее» для непрофессионала):.

Среднее по времени значение, обратное радиусу, равно.

Энергия; вычисление большой полуоси из векторов состояния

В астродинамике большая полуось может быть вычислена из орбитальных векторов состояния:

для эллиптической орбиты и для гиперболической траектории

и

(удельная орбитальная энергия)

и

(стандартный гравитационный параметр),

где:

• — орбитальная скорость от вектора скорости орбитального объекта,
• — декартов вектор положения орбитального объекта в координатах системы отсчета, относительно которой должны быть вычислены элементы орбиты (например,грамм. геоцентрическая экваториальная для орбиты вокруг Земли или гелиоцентрическая эклиптика для орбиты вокруг Солнца),
• — гравитационная постоянная,
• масса центрального корпуса.

Обратите внимание, что для данного центрального тела и полной удельной энергии большая полуось всегда одна и та же, независимо от эксцентриситета. Наоборот, для данного центрального тела и большой полуоси полная удельная энергия всегда одинакова.

Пример

У Международной космической станции период обращения 91.74 минуты, следовательно, большая полуось составляет 6738 км [1]. Каждую минуту больше соответствует ок. Еще 50 км: на дополнительные 300 км длины орбиты уходит 40 секунд, на меньшую скорость — еще 20 секунд.

Список литературы

Большая полуось эллипса — стенограмма видео и урока

Большая полуось эллипса

Теперь, когда мы знаем, что такое эллипс, давайте поговорим о некоторых его частях. В частности, мы хотим поговорить о большой полуоси эллипса.Однако, чтобы ввести большую полуось эллипса, мы должны сначала распознать большую ось эллипса!

Если бы мы разместили эллипс на оси x y с началом координат в центре эллипса, одна из осей внутри эллипса была бы немного длиннее другой, в зависимости от того, круг был сжат по вертикали или горизонтали, чтобы создать эллипс.

Рассматривая эллипс таким образом, мы называем две оси внутри эллипса большой осью и малой осью эллипса.Большая ось — это более длинная ось, а малая ось — более короткая ось.

Теперь мы можем определить большую полуось эллипса как половину большой оси эллипса. Пока все хорошо… ничего сложного. Давайте продолжим!

Поиск большой полуоси

Теперь, когда мы знаем, что такое большая полуось эллипса, давайте поговорим о поиске его длины. Мы знаем, что это половина большой оси, поэтому ее длина будет составлять половину длины большой оси, и, как оказалось, длину большой оси можно найти, просто сложив расстояние от одного фокуса, F , до любой точки, A , на эллипсе и на расстоянии от других фокусов, G , до той же точки A .

Мы видим, что AF + AG равно длине большой оси. Следовательно, мы имеем следующее:

Длина большой оси = AF + AG , где F и G — фокусы эллипса, а A — любая точка эллипса.

Ну, если это длина большой оси, то, чтобы найти длину большой полуоси, мы просто разделяем ее пополам или делим на 2:

Длина большой полуоси = ( AF + AG ) / 2, где F и G — фокусы эллипса, а A — любая точка эллипса.

Это довольно просто! Попробуем применить эту формулу на практике.

Пример

Предположим, у вас на заднем дворе есть пруд эллиптической формы, и вы хотите построить причал, который выходит к центру пруда от самого дальнего от центра края. Другими словами, док представляет собой большую полуось пруда. Профессионал, которого вы наняли некоторое время назад, провел несколько измерений от очага пруда до точки на краю пруда и обнаружил, что эти два расстояния составляют 32 фута и 16 футов.

Вы хотите использовать эту информацию, чтобы определить длину док-станции. Без проблем! Все, что нам нужно сделать, это сложить два расстояния, которые нашел профессионал, чтобы найти длину главной оси, и разделить полученное значение на 2:

Длина стыковочного узла = (32 + 16) / 2 = 48/2 = 24.

Вы обнаружите, что док будет 24 фута. Задача решена!

Итоги урока

Хорошо, давайте рассмотрим. Эллипс принимает форму круга, сжатого по горизонтали или вертикали.Технически, если F и G являются фокусами, то эллипс представляет собой набор всех точек, A , так что AF + AG является постоянным. Внутри эллипса две оси. Более длинная ось — это большая ось , и она проходит через центр эллипса от одного конца до другого в самой широкой части эллипса. Большая полуось составляет половину большой оси.

Чтобы найти длину большой полуоси, мы можем использовать следующую формулу:

Длина большой полуоси = ( AF + AG ) / 2, где A — любая точка на эллипса, а F и G являются фокусами эллипса.

Хорошо, что мы более знакомы с этой характеристикой эллипса, поскольку эллипсы довольно часто встречаются в окружающем нас мире в архитектуре, ландшафтном дизайне, технике и даже в буррито!

Вступительная астрономия: эллипсы

(А эллипсы с затмениями не путайте!)

Первый закон Кеплера гласит, что планеты вращаются вокруг Солнца по эллипсам. в одном фокусе.Эллипс (своего рода) овальной формы с двумя внутренние точки, называемые фокусами (единственное число: фокус), длинная ось (основная ось), короткую ось (малая ось) и центр (который должен ни в коем случае не путать с фокусом). Половина майора ось

Эллипсы — это класс математических фигур. Круг — это частный случай эллипса, который возникает, когда два фокусировки (и center) совпадают. Цифра, характеризующая, насколько плоская Эллипс выглядит, называется эксцентриситетом, обозначается буквой

Важные числа эллипса:

a = длина большой полуоси

b = длина малой полуоси

e = эксцентриситет эллипса. e ² = 1 — b ² / a ² .

Важные факты об эллипсе:

Расстояние от центра до фокуса — ae.

Большая ось — 2a.